WORST_CASE(?,O(n^1)) * Step 1: Sum. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict TRS: ACTIVATE(z0) -> c17() ACTIVATE(n__natsFrom(z0)) -> c16(NATSFROM(z0)) AFTERNTH(z0,z1) -> c4(SND(splitAt(z0,z1)),SPLITAT(z0,z1)) AND(tt(),z0) -> c5(ACTIVATE(z0)) FST(pair(z0,z1)) -> c6() HEAD(cons(z0,z1)) -> c7() NATSFROM(z0) -> c8() NATSFROM(z0) -> c9() SEL(z0,z1) -> c10(HEAD(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH(z0,z1)) SND(pair(z0,z1)) -> c11() SPLITAT(0(),z0) -> c12() SPLITAT(s(z0),cons(z1,z2)) -> c13(U11'(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE(z2)) TAIL(cons(z0,z1)) -> c14(ACTIVATE(z1)) TAKE(z0,z1) -> c15(FST(splitAt(z0,z1)),SPLITAT(z0,z1)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE(z0)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c1(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE(z2)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c2(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE(z1)) U12'(pair(z0,z1),z2) -> c3(ACTIVATE(z2)) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) and(tt(),z0) -> activate(z0) fst(pair(z0,z1)) -> z0 head(cons(z0,z1)) -> z0 natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) sel(z0,z1) -> head(afterNth(z0,z1)) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) tail(cons(z0,z1)) -> activate(z1) take(z0,z1) -> fst(splitAt(z0,z1)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2} / {0/0,c/3 ,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0,c9/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE,AFTERNTH,AND,FST,HEAD,NATSFROM,SEL,SND,SPLITAT ,TAIL,TAKE,U11,U11',U12,U12',activate,afterNth,and,fst,head,natsFrom,sel,snd,splitAt,tail ,take} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons,n__natsFrom,nil ,pair,s,tt} + Applied Processor: Sum {left = someStrategy, right = someStrategy} + Details: () * Step 2: DependencyPairs. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict TRS: ACTIVATE(z0) -> c17() ACTIVATE(n__natsFrom(z0)) -> c16(NATSFROM(z0)) AFTERNTH(z0,z1) -> c4(SND(splitAt(z0,z1)),SPLITAT(z0,z1)) AND(tt(),z0) -> c5(ACTIVATE(z0)) FST(pair(z0,z1)) -> c6() HEAD(cons(z0,z1)) -> c7() NATSFROM(z0) -> c8() NATSFROM(z0) -> c9() SEL(z0,z1) -> c10(HEAD(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH(z0,z1)) SND(pair(z0,z1)) -> c11() SPLITAT(0(),z0) -> c12() SPLITAT(s(z0),cons(z1,z2)) -> c13(U11'(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE(z2)) TAIL(cons(z0,z1)) -> c14(ACTIVATE(z1)) TAKE(z0,z1) -> c15(FST(splitAt(z0,z1)),SPLITAT(z0,z1)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE(z0)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c1(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE(z2)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c2(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE(z1)) U12'(pair(z0,z1),z2) -> c3(ACTIVATE(z2)) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) and(tt(),z0) -> activate(z0) fst(pair(z0,z1)) -> z0 head(cons(z0,z1)) -> z0 natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) sel(z0,z1) -> head(afterNth(z0,z1)) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) tail(cons(z0,z1)) -> activate(z1) take(z0,z1) -> fst(splitAt(z0,z1)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2} / {0/0,c/3 ,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0,c9/0,cons/2 ,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE,AFTERNTH,AND,FST,HEAD,NATSFROM,SEL,SND,SPLITAT ,TAIL,TAKE,U11,U11',U12,U12',activate,afterNth,and,fst,head,natsFrom,sel,snd,splitAt,tail ,take} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons,n__natsFrom,nil ,pair,s,tt} + Applied Processor: DependencyPairs {dpKind_ = WIDP} + Details: We add the following weak innermost dependency pairs: Strict DPs ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) Weak DPs U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) and mark the set of starting terms. * Step 3: UsableRules. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) - Strict TRS: ACTIVATE(z0) -> c17() ACTIVATE(n__natsFrom(z0)) -> c16(NATSFROM(z0)) AFTERNTH(z0,z1) -> c4(SND(splitAt(z0,z1)),SPLITAT(z0,z1)) AND(tt(),z0) -> c5(ACTIVATE(z0)) FST(pair(z0,z1)) -> c6() HEAD(cons(z0,z1)) -> c7() NATSFROM(z0) -> c8() NATSFROM(z0) -> c9() SEL(z0,z1) -> c10(HEAD(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH(z0,z1)) SND(pair(z0,z1)) -> c11() SPLITAT(0(),z0) -> c12() SPLITAT(s(z0),cons(z1,z2)) -> c13(U11'(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE(z2)) TAIL(cons(z0,z1)) -> c14(ACTIVATE(z1)) TAKE(z0,z1) -> c15(FST(splitAt(z0,z1)),SPLITAT(z0,z1)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE(z0)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c1(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE(z2)) U11'(tt(),z0,z1,z2) -> c2(U12'(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE(z1)) U12'(pair(z0,z1),z2) -> c3(ACTIVATE(z2)) - Weak DPs: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) and(tt(),z0) -> activate(z0) fst(pair(z0,z1)) -> z0 head(cons(z0,z1)) -> z0 natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) sel(z0,z1) -> head(afterNth(z0,z1)) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) tail(cons(z0,z1)) -> activate(z1) take(z0,z1) -> fst(splitAt(z0,z1)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: UsableRules + Details: We replace rewrite rules by usable rules: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) * Step 4: PredecessorEstimation. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) - Weak DPs: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {1,5,6,7,8,10,11} by application of Pre({1,5,6,7,8,10,11}) = {2,3,4,9,12,13,14,15,16,17,18}. Here rules are labelled as follows: 1: ACTIVATE#(z0) -> c_1() 2: ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) 3: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 4: AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) 5: FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() 6: HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() 7: NATSFROM#(z0) -> c_7() 8: NATSFROM#(z0) -> c_8() 9: SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) 10: SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() 11: SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() 12: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) 13: TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) 14: TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 15: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) 16: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) 17: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) 18: U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) 19: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) 20: U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) 21: activate#(z0) -> c_21() 22: activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) 23: afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) 24: and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) 25: fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() 26: head#(cons(z0,z1)) -> c_26() 27: natsFrom#(z0) -> c_27() 28: natsFrom#(z0) -> c_28() 29: sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) 30: snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() 31: splitAt#(0(),z0) -> c_31() 32: splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 33: tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) 34: take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) * Step 5: PredecessorEstimation. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) - Weak DPs: ACTIVATE#(z0) -> c_1() FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {1} by application of Pre({1}) = {3,5,6,8,9,10,11}. Here rules are labelled as follows: 1: ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) 2: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 3: AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) 4: SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) 5: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) 6: TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) 7: TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 8: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) 9: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) 10: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) 11: U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) 12: ACTIVATE#(z0) -> c_1() 13: FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() 14: HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() 15: NATSFROM#(z0) -> c_7() 16: NATSFROM#(z0) -> c_8() 17: SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() 18: SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() 19: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) 20: U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) 21: activate#(z0) -> c_21() 22: activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) 23: afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) 24: and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) 25: fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() 26: head#(cons(z0,z1)) -> c_26() 27: natsFrom#(z0) -> c_27() 28: natsFrom#(z0) -> c_28() 29: sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) 30: snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() 31: splitAt#(0(),z0) -> c_31() 32: splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 33: tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) 34: take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) * Step 6: PredecessorEstimation. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) - Weak DPs: ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {2,5,10} by application of Pre({2,5,10}) = {7,8,9}. Here rules are labelled as follows: 1: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 2: AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) 3: SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) 4: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) 5: TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) 6: TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 7: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) 8: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) 9: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) 10: U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) 11: ACTIVATE#(z0) -> c_1() 12: ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) 13: FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() 14: HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() 15: NATSFROM#(z0) -> c_7() 16: NATSFROM#(z0) -> c_8() 17: SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() 18: SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() 19: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) 20: U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) 21: activate#(z0) -> c_21() 22: activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) 23: afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) 24: and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) 25: fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() 26: head#(cons(z0,z1)) -> c_26() 27: natsFrom#(z0) -> c_27() 28: natsFrom#(z0) -> c_28() 29: sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) 30: snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() 31: splitAt#(0(),z0) -> c_31() 32: splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 33: tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) 34: take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) * Step 7: PredecessorEstimation. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) - Weak DPs: ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimation {onSelection = all simple predecessor estimation selector} + Details: We estimate the number of application of {7} by application of Pre({7}) = {3}. Here rules are labelled as follows: 1: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 2: SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) 3: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) 4: TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) 5: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) 6: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) 7: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) 8: ACTIVATE#(z0) -> c_1() 9: ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) 10: AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) 11: FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() 12: HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() 13: NATSFROM#(z0) -> c_7() 14: NATSFROM#(z0) -> c_8() 15: SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() 16: SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() 17: TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) 18: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) 19: U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) 20: U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) 21: activate#(z0) -> c_21() 22: activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) 23: afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) 24: and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) 25: fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() 26: head#(cons(z0,z1)) -> c_26() 27: natsFrom#(z0) -> c_27() 28: natsFrom#(z0) -> c_28() 29: sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) 30: snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() 31: splitAt#(0(),z0) -> c_31() 32: splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 33: tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) 34: take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) * Step 8: RemoveWeakSuffixes. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) - Weak DPs: ACTIVATE#(z0) -> c_1() ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() NATSFROM#(z0) -> c_7() NATSFROM#(z0) -> c_8() SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) activate#(z0) -> c_21() activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() head#(cons(z0,z1)) -> c_26() natsFrom#(z0) -> c_27() natsFrom#(z0) -> c_28() sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() splitAt#(0(),z0) -> c_31() splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:S:AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 -->_2 SPLITAT#(0(),z0) -> c_11():15 -->_1 SND#(pair(z0,z1)) -> c_10():14 2:S:SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) -->_1 HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6():11 -->_2 AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)):1 3:S:SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,ACTIVATE#(z1)):18 -->_2 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)):6 -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)):5 -->_2 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 4:S:TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) -->_2 SPLITAT#(0(),z0) -> c_11():15 -->_1 FST#(pair(z0,z1)) -> c_5():10 -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 5:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) -->_1 U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)):20 -->_3 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_2 SPLITAT#(0(),z0) -> c_11():15 -->_3 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 6:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) -->_1 U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)):20 -->_3 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_2 SPLITAT#(0(),z0) -> c_11():15 -->_3 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 7:W:ACTIVATE#(z0) -> c_1() 8:W:ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) -->_1 NATSFROM#(z0) -> c_8():13 -->_1 NATSFROM#(z0) -> c_7():12 9:W:AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) -->_1 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_1 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 10:W:FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() 11:W:HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() 12:W:NATSFROM#(z0) -> c_7() 13:W:NATSFROM#(z0) -> c_8() 14:W:SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() 15:W:SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() 16:W:TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) -->_1 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_1 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 17:W:U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) -->_1 U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)):19 18:W:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) -->_1 U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)):20 -->_2 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_2 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 19:W:U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) -->_1 activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)):22 -->_1 activate#(z0) -> c_21():21 20:W:U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) -->_1 ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)):8 -->_1 ACTIVATE#(z0) -> c_1():7 21:W:activate#(z0) -> c_21() 22:W:activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) -->_1 natsFrom#(z0) -> c_28():28 -->_1 natsFrom#(z0) -> c_27():27 23:W:afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) -->_1 snd#(pair(z0,z1)) -> c_30():30 24:W:and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) -->_1 activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)):22 -->_1 activate#(z0) -> c_21():21 25:W:fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() 26:W:head#(cons(z0,z1)) -> c_26() 27:W:natsFrom#(z0) -> c_27() 28:W:natsFrom#(z0) -> c_28() 29:W:sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) -->_1 head#(cons(z0,z1)) -> c_26():26 30:W:snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() 31:W:splitAt#(0(),z0) -> c_31() 32:W:splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) -->_1 U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))):17 33:W:tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) -->_1 activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)):22 -->_1 activate#(z0) -> c_21():21 34:W:take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) -->_1 fst#(pair(z0,z1)) -> c_25():25 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 34: take#(z0,z1) -> c_34(fst#(splitAt(z0,z1))) 33: tail#(cons(z0,z1)) -> c_33(activate#(z1)) 32: splitAt#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_32(U11#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 31: splitAt#(0(),z0) -> c_31() 29: sel#(z0,z1) -> c_29(head#(afterNth(z0,z1))) 26: head#(cons(z0,z1)) -> c_26() 25: fst#(pair(z0,z1)) -> c_25() 24: and#(tt(),z0) -> c_24(activate#(z0)) 23: afterNth#(z0,z1) -> c_23(snd#(splitAt(z0,z1))) 30: snd#(pair(z0,z1)) -> c_30() 17: U11#(tt(),z0,z1,z2) -> c_19(U12#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1))) 19: U12#(pair(z0,z1),z2) -> c_20(activate#(z2)) 21: activate#(z0) -> c_21() 22: activate#(n__natsFrom(z0)) -> c_22(natsFrom#(z0)) 27: natsFrom#(z0) -> c_27() 28: natsFrom#(z0) -> c_28() 16: TAIL#(cons(z0,z1)) -> c_13(ACTIVATE#(z1)) 9: AND#(tt(),z0) -> c_4(ACTIVATE#(z0)) 10: FST#(pair(z0,z1)) -> c_5() 11: HEAD#(cons(z0,z1)) -> c_6() 14: SND#(pair(z0,z1)) -> c_10() 15: SPLITAT#(0(),z0) -> c_11() 18: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_17(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)),ACTIVATE#(z1)) 20: U12'#(pair(z0,z1),z2) -> c_18(ACTIVATE#(z2)) 7: ACTIVATE#(z0) -> c_1() 8: ACTIVATE#(n__natsFrom(z0)) -> c_2(NATSFROM#(z0)) 12: NATSFROM#(z0) -> c_7() 13: NATSFROM#(z0) -> c_8() * Step 9: SimplifyRHS. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/2,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/2 ,c_10/0,c_11/0,c_12/2,c_13/1,c_14/2,c_15/3,c_16/3,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: SimplifyRHS + Details: Consider the dependency graph 1:S:AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 2:S:SEL#(z0,z1) -> c_9(HEAD#(afterNth(z0,z1)),AFTERNTH#(z0,z1)) -->_2 AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SND#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)):1 3:S:SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)) -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)):6 -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)):5 4:S:TAKE#(z0,z1) -> c_14(FST#(splitAt(z0,z1)),SPLITAT#(z0,z1)) -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 5:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z0)) -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 6:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(U12'#(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) ,SPLITAT#(activate(z0),activate(z2)) ,ACTIVATE#(z2)) -->_2 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2)),ACTIVATE#(z2)):3 Due to missing edges in the depndency graph, the right-hand sides of following rules could be simplified: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) TAKE#(z0,z1) -> c_14(SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) * Step 10: UsableRules. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) TAKE#(z0,z1) -> c_14(SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: U11(tt(),z0,z1,z2) -> U12(splitAt(activate(z0),activate(z2)),activate(z1)) U12(pair(z0,z1),z2) -> pair(cons(activate(z2),z0),z1) activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) afterNth(z0,z1) -> snd(splitAt(z0,z1)) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) snd(pair(z0,z1)) -> z1 splitAt(0(),z0) -> pair(nil(),z0) splitAt(s(z0),cons(z1,z2)) -> U11(tt(),z0,z1,activate(z2)) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: UsableRules + Details: We replace rewrite rules by usable rules: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) TAKE#(z0,z1) -> c_14(SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) * Step 11: RemoveHeads. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) SEL#(z0,z1) -> c_9(AFTERNTH#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) TAKE#(z0,z1) -> c_14(SPLITAT#(z0,z1)) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveHeads + Details: Consider the dependency graph 1:S:AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 2:S:SEL#(z0,z1) -> c_9(AFTERNTH#(z0,z1)) -->_1 AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)):1 3:S:SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))):6 -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))):5 4:S:TAKE#(z0,z1) -> c_14(SPLITAT#(z0,z1)) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 5:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 6:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 Following roots of the dependency graph are removed, as the considered set of starting terms is closed under reduction with respect to these rules (modulo compound contexts). [(2,SEL#(z0,z1) -> c_9(AFTERNTH#(z0,z1))),(4,TAKE#(z0,z1) -> c_14(SPLITAT#(z0,z1)))] * Step 12: RemoveHeads. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveHeads + Details: Consider the dependency graph 1:S:AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 3:S:SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))):6 -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))):5 5:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 6:S:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):3 Following roots of the dependency graph are removed, as the considered set of starting terms is closed under reduction with respect to these rules (modulo compound contexts). [(1,AFTERNTH#(z0,z1) -> c_3(SPLITAT#(z0,z1)))] * Step 13: PredecessorEstimationCP. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: PredecessorEstimationCP {onSelectionCP = any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules, withComplexityPair = NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}} + Details: We first use the processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing} to orient following rules strictly: 5: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) 6: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) Consider the set of all dependency pairs 3: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 5: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) 6: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) Processor NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Nothing}induces the complexity certificateTIME (?,O(n^1)) BEST_CASE TIME (?,?) SPACE(?,?)on application of the dependency pairs {5,6} These cover all (indirect) predecessors of dependency pairs {3,5,6} their number of applications is equally bounded. The dependency pairs are shifted into the weak component. ** Step 13.a:1: NaturalMI. WORST_CASE(?,O(n^1)) + Considered Problem: - Strict DPs: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: NaturalMI {miDimension = 1, miDegree = 1, miKind = Algebraic, uargs = UArgs, urules = URules, selector = Just first alternative for predecessorEstimation on any intersect of rules of CDG leaf and strict-rules} + Details: We apply a matrix interpretation of kind constructor based matrix interpretation: The following argument positions are considered usable: uargs(c_12) = {1}, uargs(c_15) = {1}, uargs(c_16) = {1} Following symbols are considered usable: {activate,natsFrom,ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND#,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'# ,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt#,tail#,take#} TcT has computed the following interpretation: p(0) = [0] p(ACTIVATE) = [1] p(AFTERNTH) = [1] x1 + [2] x2 + [0] p(AND) = [2] x1 + [1] x2 + [1] p(FST) = [1] p(HEAD) = [0] p(NATSFROM) = [1] p(SEL) = [1] x1 + [0] p(SND) = [2] p(SPLITAT) = [4] x1 + [1] p(TAIL) = [1] p(TAKE) = [2] x1 + [8] x2 + [4] p(U11) = [8] x4 + [4] p(U11') = [2] x2 + [1] x3 + [0] p(U12) = [1] x2 + [4] p(U12') = [1] x1 + [1] x2 + [0] p(activate) = [1] x1 + [0] p(afterNth) = [1] x1 + [2] x2 + [1] p(and) = [2] x1 + [1] x2 + [0] p(c) = [1] p(c1) = [1] x2 + [1] x3 + [1] p(c10) = [1] x1 + [1] x2 + [1] p(c11) = [0] p(c12) = [0] p(c13) = [2] p(c14) = [0] p(c15) = [1] x1 + [1] p(c16) = [1] x1 + [2] p(c17) = [4] p(c2) = [0] p(c3) = [1] p(c4) = [0] p(c5) = [1] p(c6) = [1] p(c7) = [1] p(c8) = [8] p(c9) = [1] p(cons) = [1] x2 + [0] p(fst) = [0] p(head) = [2] p(n__natsFrom) = [0] p(natsFrom) = [0] p(nil) = [1] p(pair) = [1] x2 + [1] p(s) = [1] x1 + [2] p(sel) = [1] x2 + [0] p(snd) = [0] p(splitAt) = [2] x1 + [0] p(tail) = [0] p(take) = [2] x1 + [8] x2 + [0] p(tt) = [7] p(ACTIVATE#) = [1] x1 + [0] p(AFTERNTH#) = [1] x2 + [0] p(AND#) = [1] x1 + [2] x2 + [8] p(FST#) = [1] x1 + [2] p(HEAD#) = [2] p(NATSFROM#) = [1] x1 + [0] p(SEL#) = [2] x1 + [0] p(SND#) = [1] p(SPLITAT#) = [8] x1 + [8] x2 + [7] p(TAIL#) = [8] x1 + [1] p(TAKE#) = [0] p(U11#) = [2] x2 + [1] x3 + [2] x4 + [1] p(U11'#) = [3] x1 + [8] x2 + [8] x4 + [2] p(U12#) = [1] x2 + [0] p(U12'#) = [4] x1 + [8] x2 + [2] p(activate#) = [1] x1 + [1] p(afterNth#) = [1] x1 + [1] x2 + [0] p(and#) = [1] x2 + [1] p(fst#) = [4] x1 + [1] p(head#) = [1] x1 + [2] p(natsFrom#) = [1] x1 + [2] p(sel#) = [2] x1 + [1] x2 + [1] p(snd#) = [0] p(splitAt#) = [0] p(tail#) = [0] p(take#) = [8] x1 + [1] x2 + [0] p(c_1) = [2] p(c_2) = [1] x1 + [1] p(c_3) = [1] p(c_4) = [1] x1 + [0] p(c_5) = [0] p(c_6) = [0] p(c_7) = [1] p(c_8) = [8] p(c_9) = [1] x1 + [8] p(c_10) = [8] p(c_11) = [0] p(c_12) = [1] x1 + [0] p(c_13) = [1] x1 + [1] p(c_14) = [2] p(c_15) = [1] x1 + [14] p(c_16) = [1] x1 + [14] p(c_17) = [1] x1 + [2] x2 + [1] p(c_18) = [1] x1 + [2] p(c_19) = [1] p(c_20) = [2] x1 + [2] p(c_21) = [1] p(c_22) = [1] x1 + [1] p(c_23) = [1] x1 + [2] p(c_24) = [1] p(c_25) = [0] p(c_26) = [0] p(c_27) = [2] p(c_28) = [1] p(c_29) = [1] x1 + [1] p(c_30) = [2] p(c_31) = [1] p(c_32) = [1] x1 + [1] p(c_33) = [1] x1 + [2] p(c_34) = [1] x1 + [2] Following rules are strictly oriented: U11'#(tt(),z0,z1,z2) = [8] z0 + [8] z2 + [23] > [8] z0 + [8] z2 + [21] = c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) = [8] z0 + [8] z2 + [23] > [8] z0 + [8] z2 + [21] = c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) Following rules are (at-least) weakly oriented: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) = [8] z0 + [8] z2 + [23] >= [8] z0 + [8] z2 + [23] = c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) activate(z0) = [1] z0 + [0] >= [1] z0 + [0] = z0 activate(n__natsFrom(z0)) = [0] >= [0] = natsFrom(z0) natsFrom(z0) = [0] >= [0] = cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) = [0] >= [0] = n__natsFrom(z0) ** Step 13.a:2: Assumption. WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Strict DPs: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) - Weak DPs: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: Assumption {assumed = Certificate {spaceUB = Unknown, spaceLB = Unknown, timeUB = Poly (Just 0), timeLB = Unknown, timeBCUB = Unknown, timeBCLB = Unknown}} + Details: () ** Step 13.b:1: RemoveWeakSuffixes. WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak DPs: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: RemoveWeakSuffixes + Details: Consider the dependency graph 1:W:SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))):3 -->_1 U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))):2 2:W:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):1 3:W:U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) -->_1 SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))):1 The following weak DPs constitute a sub-graph of the DG that is closed under successors. The DPs are removed. 1: SPLITAT#(s(z0),cons(z1,z2)) -> c_12(U11'#(tt(),z0,z1,activate(z2))) 3: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_16(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) 2: U11'#(tt(),z0,z1,z2) -> c_15(SPLITAT#(activate(z0),activate(z2))) ** Step 13.b:2: EmptyProcessor. WORST_CASE(?,O(1)) + Considered Problem: - Weak TRS: activate(z0) -> z0 activate(n__natsFrom(z0)) -> natsFrom(z0) natsFrom(z0) -> cons(z0,n__natsFrom(s(z0))) natsFrom(z0) -> n__natsFrom(z0) - Signature: {ACTIVATE/1,AFTERNTH/2,AND/2,FST/1,HEAD/1,NATSFROM/1,SEL/2,SND/1,SPLITAT/2,TAIL/1,TAKE/2,U11/4,U11'/4,U12/2 ,U12'/2,activate/1,afterNth/2,and/2,fst/1,head/1,natsFrom/1,sel/2,snd/1,splitAt/2,tail/1,take/2,ACTIVATE#/1 ,AFTERNTH#/2,AND#/2,FST#/1,HEAD#/1,NATSFROM#/1,SEL#/2,SND#/1,SPLITAT#/2,TAIL#/1,TAKE#/2,U11#/4,U11'#/4 ,U12#/2,U12'#/2,activate#/1,afterNth#/2,and#/2,fst#/1,head#/1,natsFrom#/1,sel#/2,snd#/1,splitAt#/2,tail#/1 ,take#/2} / {0/0,c/3,c1/3,c10/2,c11/0,c12/0,c13/2,c14/1,c15/2,c16/1,c17/0,c2/2,c3/1,c4/2,c5/1,c6/0,c7/0,c8/0 ,c9/0,cons/2,n__natsFrom/1,nil/0,pair/2,s/1,tt/0,c_1/0,c_2/1,c_3/1,c_4/1,c_5/0,c_6/0,c_7/0,c_8/0,c_9/1 ,c_10/0,c_11/0,c_12/1,c_13/1,c_14/1,c_15/1,c_16/1,c_17/2,c_18/1,c_19/1,c_20/1,c_21/0,c_22/1,c_23/1,c_24/1 ,c_25/0,c_26/0,c_27/0,c_28/0,c_29/1,c_30/0,c_31/0,c_32/1,c_33/1,c_34/1} - Obligation: innermost runtime complexity wrt. defined symbols {ACTIVATE#,AFTERNTH#,AND#,FST#,HEAD#,NATSFROM#,SEL#,SND# ,SPLITAT#,TAIL#,TAKE#,U11#,U11'#,U12#,U12'#,activate#,afterNth#,and#,fst#,head#,natsFrom#,sel#,snd#,splitAt# ,tail#,take#} and constructors {0,c,c1,c10,c11,c12,c13,c14,c15,c16,c17,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,cons ,n__natsFrom,nil,pair,s,tt} + Applied Processor: EmptyProcessor + Details: The problem is already closed. The intended complexity is O(1). WORST_CASE(?,O(n^1))