WORST_CASE(Omega(n^1),?)
proof of /export/starexec/sandbox/benchmark/theBenchmark.trs
# AProVE Commit ID: c69e44bd14796315568835c1ffa2502984884775 mhark 20210624 unpublished


The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) CpxRelTRS
(1) SInnermostTerminationProof [BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID), 827 ms]
(2) CpxRelTRS
(3) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms]
(4) TRS for Loop Detection
(5) DecreasingLoopProof [LOWER BOUND(ID), 3 ms]
(6) BEST
    (7) proven lower bound
        (8) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms]
        (9) BOUNDS(n^1, INF)
    (10) TRS for Loop Detection


----------------------------------------

(0)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   AND(false, false) -> c
   AND(true, false) -> c1
   AND(false, true) -> c2
   AND(true, true) -> c3
   EQ(nil, nil) -> c4
   EQ(cons(z0, z1), nil) -> c5
   EQ(nil, cons(z0, z1)) -> c6
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c7(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c8(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(var(z0), var(z1)) -> c9(EQ(z0, z1))
   EQ(var(z0), apply(z1, z2)) -> c10
   EQ(var(z0), lambda(z1, z2)) -> c11
   EQ(apply(z0, z1), var(z2)) -> c12
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c13(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c14(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c15
   EQ(lambda(z0, z1), var(z2)) -> c16
   EQ(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c17
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c18(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z1, z3))
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c19(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z0, z2))
   IF(true, var(z0), var(z1)) -> c20
   IF(false, var(z0), var(z1)) -> c21
   REN(var(z0), var(z1), var(z2)) -> c22(IF(eq(z0, z2), var(z1), var(z2)), EQ(z0, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c23(REN(z0, z1, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c24(REN(z0, z1, z3))
   REN(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> c25(REN(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)), REN(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   and(false, false) -> false
   and(true, false) -> false
   and(false, true) -> false
   and(true, true) -> true
   eq(nil, nil) -> true
   eq(cons(z0, z1), nil) -> false
   eq(nil, cons(z0, z1)) -> false
   eq(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(var(z0), var(z1)) -> eq(z0, z1)
   eq(var(z0), apply(z1, z2)) -> false
   eq(var(z0), lambda(z1, z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> and(eq(z1, z3), eq(z0, z2))
   if(true, var(z0), var(z1)) -> var(z0)
   if(false, var(z0), var(z1)) -> var(z1)
   ren(var(z0), var(z1), var(z2)) -> if(eq(z0, z2), var(z1), var(z2))
   ren(z0, z1, apply(z2, z3)) -> apply(ren(z0, z1, z2), ren(z0, z1, z3))
   ren(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> lambda(var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), ren(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(1) SInnermostTerminationProof (BOTH CONCRETE BOUNDS(ID, ID))
proved innermost termination of relative rules
----------------------------------------

(2)
Obligation:
The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   AND(false, false) -> c
   AND(true, false) -> c1
   AND(false, true) -> c2
   AND(true, true) -> c3
   EQ(nil, nil) -> c4
   EQ(cons(z0, z1), nil) -> c5
   EQ(nil, cons(z0, z1)) -> c6
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c7(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c8(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(var(z0), var(z1)) -> c9(EQ(z0, z1))
   EQ(var(z0), apply(z1, z2)) -> c10
   EQ(var(z0), lambda(z1, z2)) -> c11
   EQ(apply(z0, z1), var(z2)) -> c12
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c13(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c14(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c15
   EQ(lambda(z0, z1), var(z2)) -> c16
   EQ(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c17
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c18(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z1, z3))
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c19(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z0, z2))
   IF(true, var(z0), var(z1)) -> c20
   IF(false, var(z0), var(z1)) -> c21
   REN(var(z0), var(z1), var(z2)) -> c22(IF(eq(z0, z2), var(z1), var(z2)), EQ(z0, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c23(REN(z0, z1, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c24(REN(z0, z1, z3))
   REN(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> c25(REN(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)), REN(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   and(false, false) -> false
   and(true, false) -> false
   and(false, true) -> false
   and(true, true) -> true
   eq(nil, nil) -> true
   eq(cons(z0, z1), nil) -> false
   eq(nil, cons(z0, z1)) -> false
   eq(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(var(z0), var(z1)) -> eq(z0, z1)
   eq(var(z0), apply(z1, z2)) -> false
   eq(var(z0), lambda(z1, z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> and(eq(z1, z3), eq(z0, z2))
   if(true, var(z0), var(z1)) -> var(z0)
   if(false, var(z0), var(z1)) -> var(z1)
   ren(var(z0), var(z1), var(z2)) -> if(eq(z0, z2), var(z1), var(z2))
   ren(z0, z1, apply(z2, z3)) -> apply(ren(z0, z1, z2), ren(z0, z1, z3))
   ren(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> lambda(var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), ren(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(3) RelTrsToDecreasingLoopProblemProof (LOWER BOUND(ID))
Transformed a relative TRS into a decreasing-loop problem.
----------------------------------------

(4)
Obligation:
Analyzing the following TRS for decreasing loops:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   AND(false, false) -> c
   AND(true, false) -> c1
   AND(false, true) -> c2
   AND(true, true) -> c3
   EQ(nil, nil) -> c4
   EQ(cons(z0, z1), nil) -> c5
   EQ(nil, cons(z0, z1)) -> c6
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c7(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c8(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(var(z0), var(z1)) -> c9(EQ(z0, z1))
   EQ(var(z0), apply(z1, z2)) -> c10
   EQ(var(z0), lambda(z1, z2)) -> c11
   EQ(apply(z0, z1), var(z2)) -> c12
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c13(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c14(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c15
   EQ(lambda(z0, z1), var(z2)) -> c16
   EQ(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c17
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c18(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z1, z3))
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c19(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z0, z2))
   IF(true, var(z0), var(z1)) -> c20
   IF(false, var(z0), var(z1)) -> c21
   REN(var(z0), var(z1), var(z2)) -> c22(IF(eq(z0, z2), var(z1), var(z2)), EQ(z0, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c23(REN(z0, z1, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c24(REN(z0, z1, z3))
   REN(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> c25(REN(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)), REN(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   and(false, false) -> false
   and(true, false) -> false
   and(false, true) -> false
   and(true, true) -> true
   eq(nil, nil) -> true
   eq(cons(z0, z1), nil) -> false
   eq(nil, cons(z0, z1)) -> false
   eq(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(var(z0), var(z1)) -> eq(z0, z1)
   eq(var(z0), apply(z1, z2)) -> false
   eq(var(z0), lambda(z1, z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> and(eq(z1, z3), eq(z0, z2))
   if(true, var(z0), var(z1)) -> var(z0)
   if(false, var(z0), var(z1)) -> var(z1)
   ren(var(z0), var(z1), var(z2)) -> if(eq(z0, z2), var(z1), var(z2))
   ren(z0, z1, apply(z2, z3)) -> apply(ren(z0, z1, z2), ren(z0, z1, z3))
   ren(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> lambda(var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), ren(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(5) DecreasingLoopProof (LOWER BOUND(ID))
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Omega(n^1):

The rewrite sequence

REN(z0, z1, apply(z2, z3)) ->^+ c24(REN(z0, z1, z3))

gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].

The pumping substitution is [z3 / apply(z2, z3)].

The result substitution is [ ].




----------------------------------------

(6)
Complex Obligation (BEST)

----------------------------------------

(7)
Obligation:
Proved the lower bound n^1 for the following obligation:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   AND(false, false) -> c
   AND(true, false) -> c1
   AND(false, true) -> c2
   AND(true, true) -> c3
   EQ(nil, nil) -> c4
   EQ(cons(z0, z1), nil) -> c5
   EQ(nil, cons(z0, z1)) -> c6
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c7(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c8(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(var(z0), var(z1)) -> c9(EQ(z0, z1))
   EQ(var(z0), apply(z1, z2)) -> c10
   EQ(var(z0), lambda(z1, z2)) -> c11
   EQ(apply(z0, z1), var(z2)) -> c12
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c13(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c14(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c15
   EQ(lambda(z0, z1), var(z2)) -> c16
   EQ(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c17
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c18(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z1, z3))
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c19(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z0, z2))
   IF(true, var(z0), var(z1)) -> c20
   IF(false, var(z0), var(z1)) -> c21
   REN(var(z0), var(z1), var(z2)) -> c22(IF(eq(z0, z2), var(z1), var(z2)), EQ(z0, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c23(REN(z0, z1, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c24(REN(z0, z1, z3))
   REN(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> c25(REN(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)), REN(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   and(false, false) -> false
   and(true, false) -> false
   and(false, true) -> false
   and(true, true) -> true
   eq(nil, nil) -> true
   eq(cons(z0, z1), nil) -> false
   eq(nil, cons(z0, z1)) -> false
   eq(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(var(z0), var(z1)) -> eq(z0, z1)
   eq(var(z0), apply(z1, z2)) -> false
   eq(var(z0), lambda(z1, z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> and(eq(z1, z3), eq(z0, z2))
   if(true, var(z0), var(z1)) -> var(z0)
   if(false, var(z0), var(z1)) -> var(z1)
   ren(var(z0), var(z1), var(z2)) -> if(eq(z0, z2), var(z1), var(z2))
   ren(z0, z1, apply(z2, z3)) -> apply(ren(z0, z1, z2), ren(z0, z1, z3))
   ren(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> lambda(var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), ren(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)))

Rewrite Strategy: INNERMOST
----------------------------------------

(8) LowerBoundPropagationProof (FINISHED)
Propagated lower bound.
----------------------------------------

(9)
BOUNDS(n^1, INF)

----------------------------------------

(10)
Obligation:
Analyzing the following TRS for decreasing loops:

The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).


The TRS R consists of the following rules:

   AND(false, false) -> c
   AND(true, false) -> c1
   AND(false, true) -> c2
   AND(true, true) -> c3
   EQ(nil, nil) -> c4
   EQ(cons(z0, z1), nil) -> c5
   EQ(nil, cons(z0, z1)) -> c6
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c7(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> c8(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(var(z0), var(z1)) -> c9(EQ(z0, z1))
   EQ(var(z0), apply(z1, z2)) -> c10
   EQ(var(z0), lambda(z1, z2)) -> c11
   EQ(apply(z0, z1), var(z2)) -> c12
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c13(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z0, z2))
   EQ(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c14(AND(eq(z0, z2), eq(z1, z3)), EQ(z1, z3))
   EQ(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c15
   EQ(lambda(z0, z1), var(z2)) -> c16
   EQ(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> c17
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c18(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z1, z3))
   EQ(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> c19(AND(eq(z1, z3), eq(z0, z2)), EQ(z0, z2))
   IF(true, var(z0), var(z1)) -> c20
   IF(false, var(z0), var(z1)) -> c21
   REN(var(z0), var(z1), var(z2)) -> c22(IF(eq(z0, z2), var(z1), var(z2)), EQ(z0, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c23(REN(z0, z1, z2))
   REN(z0, z1, apply(z2, z3)) -> c24(REN(z0, z1, z3))
   REN(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> c25(REN(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)), REN(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3))

The (relative) TRS S consists of the following rules:

   and(false, false) -> false
   and(true, false) -> false
   and(false, true) -> false
   and(true, true) -> true
   eq(nil, nil) -> true
   eq(cons(z0, z1), nil) -> false
   eq(nil, cons(z0, z1)) -> false
   eq(cons(z0, z1), cons(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(var(z0), var(z1)) -> eq(z0, z1)
   eq(var(z0), apply(z1, z2)) -> false
   eq(var(z0), lambda(z1, z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(apply(z0, z1), apply(z2, z3)) -> and(eq(z0, z2), eq(z1, z3))
   eq(apply(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), var(z2)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), apply(z2, z3)) -> false
   eq(lambda(z0, z1), lambda(z2, z3)) -> and(eq(z1, z3), eq(z0, z2))
   if(true, var(z0), var(z1)) -> var(z0)
   if(false, var(z0), var(z1)) -> var(z1)
   ren(var(z0), var(z1), var(z2)) -> if(eq(z0, z2), var(z1), var(z2))
   ren(z0, z1, apply(z2, z3)) -> apply(ren(z0, z1, z2), ren(z0, z1, z3))
   ren(z0, z1, lambda(z2, z3)) -> lambda(var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), ren(z0, z1, ren(z2, var(cons(z0, cons(z1, cons(lambda(z2, z3), nil)))), z3)))

Rewrite Strategy: INNERMOST