KILLED proof of input_xr8MiC6zPW.trs # AProVE Commit ID: aff8ecad908e01718a4c36e68d2e55d5e0f16e15 fuhs 20220216 unpublished The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). (0) CpxTRS (1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxTRS (3) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (4) CpxTRS (5) RelTrsToWeightedTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (6) CpxWeightedTrs (7) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) CpxTypedWeightedTrs (9) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (10) CpxTypedWeightedCompleteTrs (11) NarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (12) CpxTypedWeightedCompleteTrs (13) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 6 ms] (14) CpxRNTS (15) SimplificationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (16) CpxRNTS (17) CpxRntsAnalysisOrderProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (18) CpxRNTS (19) ResultPropagationProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (20) CpxRNTS (21) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 256 ms] (22) CpxRNTS (23) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 7 ms] (24) CpxRNTS (25) ResultPropagationProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (26) CpxRNTS (27) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 389 ms] (28) CpxRNTS (29) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 128 ms] (30) CpxRNTS (31) ResultPropagationProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (32) CpxRNTS (33) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 295 ms] (34) CpxRNTS (35) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 118 ms] (36) CpxRNTS (37) ResultPropagationProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (38) CpxRNTS (39) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 539 ms] (40) CpxRNTS (41) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 188 ms] (42) CpxRNTS (43) ResultPropagationProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (44) CpxRNTS (45) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 739 ms] (46) CpxRNTS (47) IntTrsBoundProof [UPPER BOUND(ID), 410 ms] (48) CpxRNTS (49) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (50) CpxTypedWeightedCompleteTrs (51) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (52) CpxRNTS (53) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (54) CdtProblem (55) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (56) CdtProblem (57) CdtUsableRulesProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (62) CdtProblem (63) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (64) CdtProblem (65) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) CdtProblem (69) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 14 ms] (70) CdtProblem (71) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (72) CdtProblem (73) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (74) CdtProblem (75) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (76) CdtProblem (77) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (78) CdtProblem (79) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (80) CdtProblem (81) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (82) CdtProblem (83) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (84) CdtProblem (85) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (86) CdtProblem (87) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (88) CdtProblem (89) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (90) CdtProblem (91) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (92) CdtProblem (93) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (94) CdtProblem (95) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (96) CdtProblem (97) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 13 ms] (98) CdtProblem (99) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (100) CdtProblem (101) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (102) CdtProblem (103) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (104) CdtProblem (105) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (106) CdtProblem (107) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (108) CdtProblem (109) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (110) CdtProblem (111) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (112) CdtProblem (113) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (114) CdtProblem (115) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (116) CdtProblem (117) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (118) CdtProblem (119) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (120) CdtProblem (121) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (122) CdtProblem (123) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms] (124) CdtProblem (125) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (126) CdtProblem (127) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (128) CdtProblem (129) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (130) CdtProblem (131) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (132) CdtProblem (133) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (134) CdtProblem (135) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 4 ms] (136) CdtProblem (137) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (138) CdtProblem (139) CdtRewritingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (140) CdtProblem (141) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (142) CdtProblem (143) CdtRewritingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (144) CdtProblem (145) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (146) CdtProblem (147) CdtRuleRemovalProof [UPPER BOUND(ADD(n^1)), 230 ms] (148) CdtProblem (149) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (150) CdtProblem (151) CdtRewritingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 15 ms] (152) CdtProblem (153) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (154) CdtProblem (155) CdtRewritingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (156) CdtProblem (157) CdtRewritingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (158) CdtProblem ---------------------------------------- (0) Obligation: The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) any(s(x)) -> s(s(any(x))) any(x) -> x S is empty. Rewrite Strategy: PARALLEL_INNERMOST ---------------------------------------- (1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0') -> 0' min(0', y) -> 0' min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0') -> x max(0', y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0') -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) any(s(x)) -> s(s(any(x))) any(x) -> x S is empty. Rewrite Strategy: PARALLEL_INNERMOST ---------------------------------------- (3) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 min(0, y) -> 0 min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) max(x, 0) -> x max(0, y) -> y max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) minus(x, 0) -> x minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) any(s(x)) -> s(s(any(x))) any(x) -> x S is empty. Rewrite Strategy: PARALLEL_INNERMOST ---------------------------------------- (5) RelTrsToWeightedTrsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (6) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 [1] min(0, y) -> 0 [1] min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) [1] max(x, 0) -> x [1] max(0, y) -> y [1] max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) [1] minus(x, 0) -> x [1] minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) [1] gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) [1] any(s(x)) -> s(s(any(x))) [1] any(x) -> x [1] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (7) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (8) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 [1] min(0, y) -> 0 [1] min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) [1] max(x, 0) -> x [1] max(0, y) -> y [1] max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) [1] minus(x, 0) -> x [1] minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) [1] gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) [1] any(s(x)) -> s(s(any(x))) [1] any(x) -> x [1] The TRS has the following type information: min :: 0:s -> 0:s -> 0:s 0 :: 0:s s :: 0:s -> 0:s max :: 0:s -> 0:s -> 0:s minus :: 0:s -> 0:s -> 0:s any :: 0:s -> 0:s gcd :: 0:s -> 0:s -> gcd Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (9) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: gcd_2 (c) The following functions are completely defined: any_1 minus_2 max_2 min_2 Due to the following rules being added: minus(v0, v1) -> 0 [0] And the following fresh constants: const ---------------------------------------- (10) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 [1] min(0, y) -> 0 [1] min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) [1] max(x, 0) -> x [1] max(0, y) -> y [1] max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) [1] minus(x, 0) -> x [1] minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) [1] gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) [1] any(s(x)) -> s(s(any(x))) [1] any(x) -> x [1] minus(v0, v1) -> 0 [0] The TRS has the following type information: min :: 0:s -> 0:s -> 0:s 0 :: 0:s s :: 0:s -> 0:s max :: 0:s -> 0:s -> 0:s minus :: 0:s -> 0:s -> 0:s any :: 0:s -> 0:s gcd :: 0:s -> 0:s -> gcd const :: gcd Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (11) NarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Narrowed the inner basic terms of all right-hand sides by a single narrowing step. ---------------------------------------- (12) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 [1] min(0, y) -> 0 [1] min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) [1] max(x, 0) -> x [1] max(0, y) -> y [1] max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) [1] minus(x, 0) -> x [1] minus(s(x), s(s(x'))) -> s(minus(x, s(s(any(x'))))) [2] minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, y)) [2] gcd(s(x), s(0)) -> gcd(minus(x, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(0)) -> gcd(minus(0, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(0)) -> gcd(minus(0, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(0)) -> gcd(minus(0, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(0)) -> gcd(minus(0, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(0)) -> gcd(minus(0, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(0)) -> gcd(minus(0, 0), s(0)) [4] gcd(s(0), s(y)) -> gcd(minus(y, 0), s(0)) [4] gcd(s(s(x'')), s(s(y'))) -> gcd(minus(s(max(x'', y')), s(min(x'', y'))), s(s(min(x'', y')))) [4] any(s(x)) -> s(s(any(x))) [1] any(x) -> x [1] minus(v0, v1) -> 0 [0] The TRS has the following type information: min :: 0:s -> 0:s -> 0:s 0 :: 0:s s :: 0:s -> 0:s max :: 0:s -> 0:s -> 0:s minus :: 0:s -> 0:s -> 0:s any :: 0:s -> 0:s gcd :: 0:s -> 0:s -> gcd const :: gcd Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (13) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 const => 0 ---------------------------------------- (14) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> x :|: x >= 0, z = x any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(x)) :|: x >= 0, z = 1 + x gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(x, 0), 1 + 0) :|: x >= 0, z' = 1 + 0, z = 1 + x gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(y, 0), 1 + 0) :|: z' = 1 + y, z = 1 + 0, y >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(x'', y'), 1 + min(x'', y')), 1 + (1 + min(x'', y'))) :|: z' = 1 + (1 + y'), y' >= 0, x'' >= 0, z = 1 + (1 + x'') max(z, z') -{ 1 }-> x :|: x >= 0, z = x, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> y :|: y >= 0, z = 0, z' = y max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(x, y) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: x >= 0, z = x, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: y >= 0, z = 0, z' = y min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(x, y) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x minus(z, z') -{ 1 }-> x :|: x >= 0, z = x, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(x, y) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(x, 1 + (1 + any(x'))) :|: z' = 1 + (1 + x'), x >= 0, x' >= 0, z = 1 + x ---------------------------------------- (15) SimplificationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Simplified the RNTS by moving equalities from the constraints into the right-hand sides. ---------------------------------------- (16) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(z - 1)) :|: z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + any(z' - 2))) :|: z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 ---------------------------------------- (17) CpxRntsAnalysisOrderProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Found the following analysis order by SCC decomposition: { any } { max } { min } { minus } { gcd } ---------------------------------------- (18) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(z - 1)) :|: z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + any(z' - 2))) :|: z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {any}, {max}, {min}, {minus}, {gcd} ---------------------------------------- (19) ResultPropagationProof (UPPER BOUND(ID)) Applied inner abstraction using the recently inferred runtime/size bounds where possible. ---------------------------------------- (20) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(z - 1)) :|: z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + any(z' - 2))) :|: z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {any}, {max}, {min}, {minus}, {gcd} ---------------------------------------- (21) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed SIZE bound using CoFloCo for: any after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: 2*z ---------------------------------------- (22) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(z - 1)) :|: z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + any(z' - 2))) :|: z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {any}, {max}, {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: ?, size: O(n^1) [2*z] ---------------------------------------- (23) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed RUNTIME bound using CoFloCo for: any after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: 1 + z ---------------------------------------- (24) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(z - 1)) :|: z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + any(z' - 2))) :|: z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {max}, {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] ---------------------------------------- (25) ResultPropagationProof (UPPER BOUND(ID)) Applied inner abstraction using the recently inferred runtime/size bounds where possible. ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {max}, {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] ---------------------------------------- (27) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed SIZE bound using CoFloCo for: max after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: z + z' ---------------------------------------- (28) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {max}, {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: ?, size: O(n^1) [z + z'] ---------------------------------------- (29) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed RUNTIME bound using KoAT for: max after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: 2 + z' ---------------------------------------- (30) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(1 + max(z - 2, z' - 2), 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] ---------------------------------------- (31) ResultPropagationProof (UPPER BOUND(ID)) Applied inner abstraction using the recently inferred runtime/size bounds where possible. ---------------------------------------- (32) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + z' }-> gcd(minus(1 + s1, 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] ---------------------------------------- (33) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed SIZE bound using KoAT for: min after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: z ---------------------------------------- (34) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + z' }-> gcd(minus(1 + s1, 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {min}, {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: ?, size: O(n^1) [z] ---------------------------------------- (35) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed RUNTIME bound using KoAT for: min after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: 2 + z' ---------------------------------------- (36) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + z' }-> gcd(minus(1 + s1, 1 + min(z - 2, z' - 2)), 1 + (1 + min(z - 2, z' - 2))) :|: s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] ---------------------------------------- (37) ResultPropagationProof (UPPER BOUND(ID)) Applied inner abstraction using the recently inferred runtime/size bounds where possible. ---------------------------------------- (38) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + 3*z' }-> gcd(minus(1 + s1, 1 + s3), 1 + (1 + s4)) :|: s3 >= 0, s3 <= z - 2, s4 >= 0, s4 <= z - 2, s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s2 :|: s2 >= 0, s2 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] ---------------------------------------- (39) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed SIZE bound using CoFloCo for: minus after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(n^1) with polynomial bound: z ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + 3*z' }-> gcd(minus(1 + s1, 1 + s3), 1 + (1 + s4)) :|: s3 >= 0, s3 <= z - 2, s4 >= 0, s4 <= z - 2, s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s2 :|: s2 >= 0, s2 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {minus}, {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] minus: runtime: ?, size: O(n^1) [z] ---------------------------------------- (41) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed RUNTIME bound using KoAT for: minus after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: EXP with polynomial bound: ? ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(0, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z - 1, 0), 1 + 0) :|: z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 }-> gcd(minus(z' - 1, 0), 1 + 0) :|: z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + 3*z' }-> gcd(minus(1 + s1, 1 + s3), 1 + (1 + s4)) :|: s3 >= 0, s3 <= z - 2, s4 >= 0, s4 <= z - 2, s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s2 :|: s2 >= 0, s2 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 2 }-> 1 + minus(z - 1, z' - 1) :|: z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 + z' }-> 1 + minus(z - 1, 1 + (1 + s)) :|: s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 Function symbols to be analyzed: {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] minus: runtime: EXP, size: O(n^1) [z] ---------------------------------------- (43) ResultPropagationProof (UPPER BOUND(ID)) Applied inner abstraction using the recently inferred runtime/size bounds where possible. ---------------------------------------- (44) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf3 + 3*z' }-> gcd(s10, 1 + (1 + s4)) :|: s10 >= 0, s10 <= 1 + s1, s3 >= 0, s3 <= z - 2, s4 >= 0, s4 <= z - 2, s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf'' }-> gcd(s7, 1 + 0) :|: s7 >= 0, s7 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf1 }-> gcd(s8, 1 + 0) :|: s8 >= 0, s8 <= 0, z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf2 }-> gcd(s9, 1 + 0) :|: s9 >= 0, s9 <= z' - 1, z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s2 :|: s2 >= 0, s2 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 1 + inf + z' }-> 1 + s5 :|: s5 >= 0, s5 <= z - 1, s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 minus(z, z') -{ 2 + inf' }-> 1 + s6 :|: s6 >= 0, s6 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 Function symbols to be analyzed: {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] minus: runtime: EXP, size: O(n^1) [z] ---------------------------------------- (45) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed SIZE bound using CoFloCo for: gcd after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: O(1) with polynomial bound: 0 ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf3 + 3*z' }-> gcd(s10, 1 + (1 + s4)) :|: s10 >= 0, s10 <= 1 + s1, s3 >= 0, s3 <= z - 2, s4 >= 0, s4 <= z - 2, s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf'' }-> gcd(s7, 1 + 0) :|: s7 >= 0, s7 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf1 }-> gcd(s8, 1 + 0) :|: s8 >= 0, s8 <= 0, z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf2 }-> gcd(s9, 1 + 0) :|: s9 >= 0, s9 <= z' - 1, z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s2 :|: s2 >= 0, s2 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 1 + inf + z' }-> 1 + s5 :|: s5 >= 0, s5 <= z - 1, s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 minus(z, z') -{ 2 + inf' }-> 1 + s6 :|: s6 >= 0, s6 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 Function symbols to be analyzed: {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] minus: runtime: EXP, size: O(n^1) [z] gcd: runtime: ?, size: O(1) [0] ---------------------------------------- (47) IntTrsBoundProof (UPPER BOUND(ID)) Computed RUNTIME bound using CoFloCo for: gcd after applying outer abstraction to obtain an ITS, resulting in: INF with polynomial bound: ? ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> z :|: z >= 0 any(z) -{ 1 + z }-> 1 + (1 + s') :|: s' >= 0, s' <= 2 * (z - 1), z - 1 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf3 + 3*z' }-> gcd(s10, 1 + (1 + s4)) :|: s10 >= 0, s10 <= 1 + s1, s3 >= 0, s3 <= z - 2, s4 >= 0, s4 <= z - 2, s1 >= 0, s1 <= z' - 2 + (z - 2), z' - 2 >= 0, z - 2 >= 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf'' }-> gcd(s7, 1 + 0) :|: s7 >= 0, s7 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf1 }-> gcd(s8, 1 + 0) :|: s8 >= 0, s8 <= 0, z = 1 + 0, z' = 1 + 0 gcd(z, z') -{ 4 + inf2 }-> gcd(s9, 1 + 0) :|: s9 >= 0, s9 <= z' - 1, z = 1 + 0, z' - 1 >= 0 max(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> z' :|: z' >= 0, z = 0 max(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s'' :|: s'' >= 0, s'' <= z' - 1 + (z - 1), z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z >= 0, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: z' >= 0, z = 0 min(z, z') -{ 2 + z' }-> 1 + s2 :|: s2 >= 0, s2 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 minus(z, z') -{ 1 }-> z :|: z >= 0, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0, z' >= 0 minus(z, z') -{ 1 + inf + z' }-> 1 + s5 :|: s5 >= 0, s5 <= z - 1, s >= 0, s <= 2 * (z' - 2), z - 1 >= 0, z' - 2 >= 0 minus(z, z') -{ 2 + inf' }-> 1 + s6 :|: s6 >= 0, s6 <= z - 1, z - 1 >= 0, z' - 1 >= 0 Function symbols to be analyzed: {gcd} Previous analysis results are: any: runtime: O(n^1) [1 + z], size: O(n^1) [2*z] max: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z + z'] min: runtime: O(n^1) [2 + z'], size: O(n^1) [z] minus: runtime: EXP, size: O(n^1) [z] gcd: runtime: INF, size: O(1) [0] ---------------------------------------- (49) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The TRS is a completely defined constructor system, as every type has a constant constructor and the following rules were added: minus(v0, v1) -> null_minus [0] gcd(v0, v1) -> null_gcd [0] min(v0, v1) -> null_min [0] max(v0, v1) -> null_max [0] And the following fresh constants: null_minus, null_gcd, null_min, null_max ---------------------------------------- (50) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: min(x, 0) -> 0 [1] min(0, y) -> 0 [1] min(s(x), s(y)) -> s(min(x, y)) [1] max(x, 0) -> x [1] max(0, y) -> y [1] max(s(x), s(y)) -> s(max(x, y)) [1] minus(x, 0) -> x [1] minus(s(x), s(y)) -> s(minus(x, any(y))) [1] gcd(s(x), s(y)) -> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), s(min(x, y))) [1] any(s(x)) -> s(s(any(x))) [1] any(x) -> x [1] minus(v0, v1) -> null_minus [0] gcd(v0, v1) -> null_gcd [0] min(v0, v1) -> null_min [0] max(v0, v1) -> null_max [0] The TRS has the following type information: min :: 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max 0 :: 0:s:null_minus:null_min:null_max s :: 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max max :: 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max minus :: 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max any :: 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max gcd :: 0:s:null_minus:null_min:null_max -> 0:s:null_minus:null_min:null_max -> null_gcd null_minus :: 0:s:null_minus:null_min:null_max null_gcd :: null_gcd null_min :: 0:s:null_minus:null_min:null_max null_max :: 0:s:null_minus:null_min:null_max Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (51) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 null_minus => 0 null_gcd => 0 null_min => 0 null_max => 0 ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: any(z) -{ 1 }-> x :|: x >= 0, z = x any(z) -{ 1 }-> 1 + (1 + any(x)) :|: x >= 0, z = 1 + x gcd(z, z') -{ 1 }-> gcd(minus(max(x, y), min(x, y)), 1 + min(x, y)) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x gcd(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 max(z, z') -{ 1 }-> x :|: x >= 0, z = x, z' = 0 max(z, z') -{ 1 }-> y :|: y >= 0, z = 0, z' = y max(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 max(z, z') -{ 1 }-> 1 + max(x, y) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: x >= 0, z = x, z' = 0 min(z, z') -{ 1 }-> 0 :|: y >= 0, z = 0, z' = y min(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 min(z, z') -{ 1 }-> 1 + min(x, y) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x minus(z, z') -{ 1 }-> x :|: x >= 0, z = x, z' = 0 minus(z, z') -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, v1 >= 0, z = v0, z' = v1 minus(z, z') -{ 1 }-> 1 + minus(x, any(y)) :|: z' = 1 + y, x >= 0, y >= 0, z = 1 + x Only complete derivations are relevant for the runtime complexity. ---------------------------------------- (53) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS with rewrite strategy PARALLEL_INNERMOST to CDT ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) gcd(s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))) any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 Tuples: MIN(z0, 0) -> c MIN(0, z0) -> c1 MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(z0, 0) -> c3 MAX(0, z0) -> c4 MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) MINUS(z0, 0) -> c6 MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) ANY(z0) -> c12 S tuples: MIN(z0, 0) -> c MIN(0, z0) -> c1 MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(z0, 0) -> c3 MAX(0, z0) -> c4 MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) MINUS(z0, 0) -> c6 MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) ANY(z0) -> c12 K tuples:none Defined Rule Symbols: min_2, max_2, minus_2, gcd_2, any_1 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, MINUS_2, GCD_2, ANY_1 Compound Symbols: c, c1, c2_1, c3, c4, c5_1, c6, c7_2, c8_3, c9_3, c10_2, c11_1, c12 ---------------------------------------- (55) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing nodes: MIN(0, z0) -> c1 ANY(z0) -> c12 MINUS(z0, 0) -> c6 MAX(0, z0) -> c4 MIN(z0, 0) -> c MAX(z0, 0) -> c3 ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) gcd(s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))) any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: min_2, max_2, minus_2, gcd_2, any_1 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, MINUS_2, GCD_2, ANY_1 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c7_2, c8_3, c9_3, c10_2, c11_1 ---------------------------------------- (57) CdtUsableRulesProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) The following rules are not usable and were removed: gcd(s(z0), s(z1)) -> gcd(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, MINUS_2, GCD_2, ANY_1 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c7_2, c8_3, c9_3, c10_2, c11_1 ---------------------------------------- (59) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MINUS(s(z0), s(z1)) -> c7(MINUS(z0, any(z1)), ANY(z1)) by MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, GCD_2, ANY_1, MINUS_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c8_3, c9_3, c10_2, c11_1, c7_2 ---------------------------------------- (61) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(z1)) -> c8(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MAX(z0, z1)) by GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MAX(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MAX(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, GCD_2, ANY_1, MINUS_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c9_3, c10_2, c11_1, c7_2, c8_3 ---------------------------------------- (63) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, GCD_2, ANY_1, MINUS_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c9_3, c10_2, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2 ---------------------------------------- (65) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(z1)) -> c9(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MINUS(max(z0, z1), min(z0, z1)), MIN(z0, z1)) by GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, GCD_2, ANY_1, MINUS_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c10_2, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (67) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, GCD_2, ANY_1, MINUS_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c10_2, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2 ---------------------------------------- (69) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(z1)) -> c10(GCD(minus(max(z0, z1), min(z0, z1)), s(min(z0, z1))), MIN(z0, z1)) by GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MIN(z0, 0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MIN(0, z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (71) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1 ---------------------------------------- (73) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(any(z0)))), ANY(s(z0))) by MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1 ---------------------------------------- (75) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1 ---------------------------------------- (77) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1 ---------------------------------------- (79) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) ---------------------------------------- (80) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3 ---------------------------------------- (81) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (82) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3 ---------------------------------------- (83) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (84) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3 ---------------------------------------- (85) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (86) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3 ---------------------------------------- (87) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (88) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3 ---------------------------------------- (89) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (90) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3 ---------------------------------------- (91) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (92) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2 ---------------------------------------- (93) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (94) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2 ---------------------------------------- (95) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (96) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), 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MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), 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c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2 ---------------------------------------- (97) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) ---------------------------------------- (98) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (99) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (100) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (101) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (102) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), 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c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), 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MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (103) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (104) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (105) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (106) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), 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c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), 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min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (107) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (108) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), 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GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c9_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3 ---------------------------------------- (109) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (110) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2 ---------------------------------------- (111) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (112) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), 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s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) ---------------------------------------- (114) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), 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c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2 ---------------------------------------- (115) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) by GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) ---------------------------------------- (116) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), 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GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), 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-> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (117) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), min(z0, 0)), s(0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) ---------------------------------------- (118) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (119) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), min(0, z0)), s(0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) ---------------------------------------- (120) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), 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c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (121) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(min(z0, 0)))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) ---------------------------------------- (122) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), 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MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (123) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(min(0, z0)))) by GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) ---------------------------------------- (124) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (125) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(min(z0, 0)))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) ---------------------------------------- (126) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), 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c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MIN_2, MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2 Compound Symbols: c2_1, c5_1, c11_1, c7_2, c10_1, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2 ---------------------------------------- (127) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(min(0, z0)))) by GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) ---------------------------------------- (128) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) S tuples: MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), 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forward instantiation to replace MIN(s(z0), s(z1)) -> c2(MIN(z0, z1)) by MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) ---------------------------------------- (130) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), 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s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MIN(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MIN(s(z0), 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Defined Pair Symbols: MAX_2, ANY_1, MINUS_2, GCD_2, MIN_2 Compound Symbols: c5_1, c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1 ---------------------------------------- (131) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 12 trailing tuple parts ---------------------------------------- (132) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, 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GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), 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c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) S tuples: MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), 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to replace MAX(s(z0), s(z1)) -> c5(MAX(z0, z1)) by MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) ---------------------------------------- (134) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), 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GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), MAX(s(z0), s(0))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), MAX(s(0), s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) 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z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: ANY_1, MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2 Compound Symbols: c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1 ---------------------------------------- (135) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 6 trailing tuple parts ---------------------------------------- (136) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), 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c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), 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s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) S tuples: ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), 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MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> 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Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: ANY_1, MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2 Compound Symbols: c11_1, c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1 ---------------------------------------- (137) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace ANY(s(z0)) -> c11(ANY(z0)) by ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) ---------------------------------------- (138) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), 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s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1 ---------------------------------------- (139) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Used rewriting to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) ---------------------------------------- (140) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) S tuples: MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), 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s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1 ---------------------------------------- (141) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MINUS(s(x0), s(z0)) -> c7(MINUS(x0, z0), ANY(z0)) by MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) ---------------------------------------- (142) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) S tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1 ---------------------------------------- (143) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Used rewriting to replace GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(0, s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (144) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), 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MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(0, s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) S tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), 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c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(0, s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1 ---------------------------------------- (145) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (146) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), 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MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), 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c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1 ---------------------------------------- (147) CdtRuleRemovalProof (UPPER BOUND(ADD(n^1))) Found a reduction pair which oriented the following tuples strictly. Hence they can be removed from S. GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) We considered the (Usable) Rules:none And the Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) The order we found is given by the following interpretation: Polynomial interpretation : POL(0) = 0 POL(ANY(x_1)) = x_1 POL(GCD(x_1, x_2)) = [1] POL(MAX(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(MIN(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(MINUS(x_1, x_2)) = 0 POL(any(x_1)) = [1] + x_1 POL(c10(x_1)) = x_1 POL(c10(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c11(x_1)) = x_1 POL(c2(x_1)) = x_1 POL(c5(x_1)) = x_1 POL(c7(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c8(x_1)) = x_1 POL(c8(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c8(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(c9(x_1, x_2)) = x_1 + x_2 POL(c9(x_1, x_2, x_3)) = x_1 + x_2 + x_3 POL(max(x_1, x_2)) = 0 POL(min(x_1, x_2)) = 0 POL(minus(x_1, x_2)) = [1] POL(s(x_1)) = 0 ---------------------------------------- (148) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) S tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 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s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), 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c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) K tuples: GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1 ---------------------------------------- (149) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MINUS(s(x0), s(s(z0))) -> c7(MINUS(x0, s(s(z0))), ANY(s(z0))) by MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) ---------------------------------------- (150) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, 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s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) K tuples: GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1 ---------------------------------------- (151) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Used rewriting to replace GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) by GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(0, s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) ---------------------------------------- (152) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), 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MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) K tuples: GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1 ---------------------------------------- (153) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (154) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) S tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) K tuples: GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1 ---------------------------------------- (155) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Used rewriting to replace GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) by GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(z0, s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) ---------------------------------------- (156) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(z0, s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) S tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c10(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0)))) GCD(s(0), s(0)) -> c10(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0)))) GCD(s(0), s(x0)) -> c10(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c10(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0)))) MIN(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c2(MIN(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c9(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0))))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0))))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c10(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0))))) MAX(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c5(MAX(s(y0), s(y1))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0))), s(s(0))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0))), s(s(0))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(0)), s(0)), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(z0, s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples: GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1 ---------------------------------------- (157) CdtRewritingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Used rewriting to replace GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) by GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) ---------------------------------------- (158) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: any(s(z0)) -> s(s(any(z0))) any(z0) -> z0 minus(z0, 0) -> z0 minus(s(z0), s(z1)) -> s(minus(z0, any(z1))) max(z0, 0) -> z0 max(0, z0) -> z0 max(s(z0), s(z1)) -> s(max(z0, z1)) min(z0, 0) -> 0 min(0, z0) -> 0 min(s(z0), s(z1)) -> s(min(z0, z1)) Tuples: MINUS(s(x0), s(s(s(z0)))) -> c7(MINUS(x0, s(s(s(s(any(z0)))))), ANY(s(s(z0)))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c8(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MAX(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c8(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MAX(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c8(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c8(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c8(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c9(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MINUS(max(s(z0), s(z1)), min(s(z0), s(z1))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c9(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MINUS(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(z0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(max(0, 0), 0), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(z0, 0)), s(0)), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, min(0, 0)), s(0)), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(max(0, z0), 0), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, min(0, z0)), s(0)), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(x0), s(0)) -> c9(GCD(max(x0, 0), s(min(x0, 0))), MINUS(max(x0, 0), min(x0, 0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) GCD(s(0), s(0)) -> c9(GCD(minus(0, 0), s(min(0, 0))), MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) GCD(s(0), s(x0)) -> c9(GCD(max(0, x0), s(min(0, x0))), MINUS(max(0, x0), min(0, x0))) GCD(s(0), s(z0)) -> c9(GCD(minus(z0, 0), s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(s(s(min(z0, z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(max(s(z0), s(z1)), s(min(z0, z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), min(s(z0), s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(max(s(s(z0)), s(s(z1))), s(s(min(z0, z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), MIN(s(s(z0)), s(s(z1)))) GCD(s(s(z0)), s(s(z1))) -> c10(GCD(minus(s(max(z0, z1)), s(min(z0, z1))), s(min(s(z0), s(z1)))), MIN(s(z0), s(z1))) GCD(s(s(s(z0))), s(s(s(z1)))) -> c10(GCD(minus(s(s(max(z0, z1))), min(s(s(z0)), s(s(z1)))), s(min(s(s(z0)), s(s(z1))))), 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MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(max(s(0), s(z0)), s(0)), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) GCD(s(s(z0)), s(s(0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(z0), s(0))), s(min(s(z0), s(0)))), MINUS(max(s(z0), s(0)), min(s(z0), s(0)))) GCD(s(s(0)), s(s(z0))) -> c8(GCD(minus(s(z0), min(s(0), s(z0))), s(min(s(0), s(z0)))), MINUS(max(s(0), s(z0)), min(s(0), s(z0)))) ANY(s(s(y0))) -> c11(ANY(s(y0))) GCD(s(z0), s(0)) -> c8(GCD(z0, s(min(z0, 0))), MINUS(max(z0, 0), min(z0, 0))) MINUS(s(s(y0)), s(s(y1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(y1)), ANY(s(y1))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(y1))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(y0))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(y0), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(z0), s(s(s(y0)))) -> c7(MINUS(z0, s(s(s(y0)))), ANY(s(s(y0)))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(z1))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(z1))), ANY(s(z1))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(s(y1))))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(s(y1))))), ANY(s(s(s(y1))))) MINUS(s(s(s(y0))), s(s(s(y1)))) -> c7(MINUS(s(s(y0)), s(s(s(y1)))), ANY(s(s(y1)))) GCD(s(0), s(z0)) -> c8(GCD(z0, s(min(0, z0))), MINUS(max(0, z0), min(0, z0))) K tuples: GCD(s(0), s(0)) -> c8(MINUS(max(0, 0), min(0, 0))) Defined Rule Symbols: any_1, minus_2, max_2, min_2 Defined Pair Symbols: MINUS_2, GCD_2, MIN_2, MAX_2, ANY_1 Compound Symbols: c7_2, c8_3, c8_2, c9_3, c9_2, c10_2, c10_1, c2_1, c5_1, c11_1, c8_1