KILLED proof of input_8vOc5SBrAA.trs # AProVE Commit ID: aff8ecad908e01718a4c36e68d2e55d5e0f16e15 fuhs 20220216 unpublished The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). (0) CpxTRS (1) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (2) CpxTRS (3) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (4) CpxTRS (5) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (6) CdtProblem (7) CdtToCpxRelTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (8) CpxRelTRS (9) RenamingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (10) CpxRelTRS (11) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (12) typed CpxTrs (13) OrderProof [LOWER BOUND(ID), 0 ms] (14) typed CpxTrs (15) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 301 ms] (16) typed CpxTrs (17) RewriteLemmaProof [LOWER BOUND(ID), 3893 ms] (18) BEST (19) proven lower bound (20) LowerBoundPropagationProof [FINISHED, 0 ms] (21) BOUNDS(n^1, INF) (22) typed CpxTrs (23) CpxTrsToCdtProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (24) CdtProblem (25) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (26) CdtProblem (27) CdtToCpxRelTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (28) CpxRelTRS (29) RelTrsToTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (30) CpxTRS (31) RelTrsToWeightedTrsProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (32) CpxWeightedTrs (33) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (34) CpxTypedWeightedTrs (35) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (36) CpxTypedWeightedCompleteTrs (37) NarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (38) CpxTypedWeightedCompleteTrs (39) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (40) CpxRNTS (41) SimplificationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (42) CpxRNTS (43) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (44) CpxTypedWeightedCompleteTrs (45) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (46) CpxRNTS (47) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (48) CdtProblem (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (50) CdtProblem (51) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (52) CdtProblem (53) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (54) CdtProblem (55) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (56) CdtProblem (57) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (58) CdtProblem (59) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (60) CdtProblem (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (62) CdtProblem (63) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (64) CdtProblem (65) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (66) CdtProblem (67) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (68) CdtProblem (69) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (70) CdtProblem (71) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (72) CdtProblem (73) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (74) CdtProblem (75) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (76) CdtProblem (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (78) CdtProblem (79) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (80) CdtProblem (81) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (82) CdtProblem (83) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (84) CdtProblem (85) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (86) CdtProblem (87) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (88) CdtProblem (89) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (90) CdtProblem (91) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (92) CdtProblem (93) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (94) CdtProblem (95) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 21 ms] (96) CdtProblem (97) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (98) CdtProblem (99) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 44 ms] (100) CdtProblem (101) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (102) CdtProblem (103) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (104) CdtProblem (105) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (106) CdtProblem (107) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (108) CdtProblem (109) CdtNarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (110) CdtProblem (111) CdtRhsSimplificationProcessorProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (112) CdtProblem (113) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 3 ms] (114) CdtProblem (115) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 57 ms] (116) CdtProblem (117) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (118) CdtProblem (119) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (120) CdtProblem (121) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (122) CdtProblem (123) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (124) CdtProblem (125) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (126) CdtProblem (127) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 44 ms] (128) CdtProblem (129) CdtLeafRemovalProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (130) CdtProblem (131) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (132) CdtProblem (133) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 348 ms] (134) CdtProblem (135) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 1002 ms] (136) CdtProblem (137) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 24 ms] (138) CdtProblem (139) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 27 ms] (140) CdtProblem (141) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (142) CdtProblem (143) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 15 ms] (144) CdtProblem (145) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 23 ms] (146) CdtProblem (147) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 51 ms] (148) CdtProblem (149) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 36 ms] (150) CdtProblem (151) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 26 ms] (152) CdtProblem (153) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 419 ms] (154) CdtProblem (155) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 598 ms] (156) CdtProblem (157) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 77 ms] (158) CdtProblem (159) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 67 ms] (160) CdtProblem (161) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 87 ms] (162) CdtProblem (163) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 31 ms] (164) CdtProblem (165) CdtForwardInstantiationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 102 ms] (166) CdtProblem (167) RelTrsToWeightedTrsProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (168) CpxWeightedTrs (169) TypeInferenceProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (170) CpxTypedWeightedTrs (171) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (172) CpxTypedWeightedCompleteTrs (173) NarrowingProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (174) CpxTypedWeightedCompleteTrs (175) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 4 ms] (176) CpxRNTS (177) SimplificationProof [BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms] (178) CpxRNTS (179) CompletionProof [UPPER BOUND(ID), 0 ms] (180) CpxTypedWeightedCompleteTrs (181) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof [UPPER BOUND(ID), 3 ms] (182) CpxRNTS ---------------------------------------- (0) Obligation: The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__p(s(X)) -> mark(X) mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__f(X) -> f(X) a__p(X) -> p(X) S is empty. Rewrite Strategy: PARALLEL_INNERMOST ---------------------------------------- (1) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (2) Obligation: The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__p(s(X)) -> mark(X) mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) mark(0') -> 0' mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__f(X) -> f(X) a__p(X) -> p(X) S is empty. Rewrite Strategy: PARALLEL_INNERMOST ---------------------------------------- (3) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (4) Obligation: The Runtime Complexity (parallel-innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__p(s(X)) -> mark(X) mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) mark(0) -> 0 mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) mark(s(X)) -> s(mark(X)) a__f(X) -> f(X) a__p(X) -> p(X) S is empty. Rewrite Strategy: PARALLEL_INNERMOST ---------------------------------------- (5) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS with rewrite strategy PARALLEL_INNERMOST to CDT ---------------------------------------- (6) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__F(0) -> c A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) S tuples: A__F(0) -> c A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__F_1, A__P_1, MARK_1 Compound Symbols: c, c1_2, c2, c3_1, c4, c5_2, c6_2, c7, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (7) CdtToCpxRelTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Converted S to standard rules, and D \ S as well as R to relative rules. ---------------------------------------- (8) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: A__F(0) -> c A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) The (relative) TRS S consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (9) RenamingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol. ---------------------------------------- (10) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF). The TRS R consists of the following rules: A__F(0') -> c A__F(s(0')) -> c1(A__F(a__p(s(0'))), A__P(s(0'))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0') -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) The (relative) TRS S consists of the following rules: a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0') -> 0' mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (11) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Inferred types. ---------------------------------------- (12) Obligation: Innermost TRS: Rules: A__F(0') -> c A__F(s(0')) -> c1(A__F(a__p(s(0'))), A__P(s(0'))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0') -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0') -> 0' mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Types: A__F :: 0':s:f:p:cons -> c:c1:c2 0' :: 0':s:f:p:cons c :: c:c1:c2 s :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c1 :: c:c1:c2 -> c3:c4 -> c:c1:c2 a__p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons A__P :: 0':s:f:p:cons -> c3:c4 c2 :: c:c1:c2 c3 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c3:c4 MARK :: 0':s:f:p:cons -> c5:c6:c7:c8:c9 c4 :: c3:c4 f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c5 :: c:c1:c2 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 mark :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c6 :: c3:c4 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c7 :: c5:c6:c7:c8:c9 cons :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c9 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 a__f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons hole_c:c1:c21_10 :: c:c1:c2 hole_0':s:f:p:cons2_10 :: 0':s:f:p:cons hole_c3:c43_10 :: c3:c4 hole_c5:c6:c7:c8:c94_10 :: c5:c6:c7:c8:c9 gen_c:c1:c25_10 :: Nat -> c:c1:c2 gen_0':s:f:p:cons6_10 :: Nat -> 0':s:f:p:cons gen_c5:c6:c7:c8:c97_10 :: Nat -> c5:c6:c7:c8:c9 ---------------------------------------- (13) OrderProof (LOWER BOUND(ID)) Heuristically decided to analyse the following defined symbols: A__F, a__p, A__P, MARK, mark, a__f They will be analysed ascendingly in the following order: a__p < A__F A__F = A__P A__F = MARK a__p = mark a__p = a__f A__P = MARK mark < MARK mark = a__f ---------------------------------------- (14) Obligation: Innermost TRS: Rules: A__F(0') -> c A__F(s(0')) -> c1(A__F(a__p(s(0'))), A__P(s(0'))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0') -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0') -> 0' mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Types: A__F :: 0':s:f:p:cons -> c:c1:c2 0' :: 0':s:f:p:cons c :: c:c1:c2 s :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c1 :: c:c1:c2 -> c3:c4 -> c:c1:c2 a__p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons A__P :: 0':s:f:p:cons -> c3:c4 c2 :: c:c1:c2 c3 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c3:c4 MARK :: 0':s:f:p:cons -> c5:c6:c7:c8:c9 c4 :: c3:c4 f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c5 :: c:c1:c2 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 mark :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c6 :: c3:c4 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c7 :: c5:c6:c7:c8:c9 cons :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c9 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 a__f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons hole_c:c1:c21_10 :: c:c1:c2 hole_0':s:f:p:cons2_10 :: 0':s:f:p:cons hole_c3:c43_10 :: c3:c4 hole_c5:c6:c7:c8:c94_10 :: c5:c6:c7:c8:c9 gen_c:c1:c25_10 :: Nat -> c:c1:c2 gen_0':s:f:p:cons6_10 :: Nat -> 0':s:f:p:cons gen_c5:c6:c7:c8:c97_10 :: Nat -> c5:c6:c7:c8:c9 Generator Equations: gen_c:c1:c25_10(0) <=> c gen_c:c1:c25_10(+(x, 1)) <=> c1(gen_c:c1:c25_10(x), c3(c7)) gen_0':s:f:p:cons6_10(0) <=> 0' gen_0':s:f:p:cons6_10(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:f:p:cons6_10(x)) gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(0) <=> c7 gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(+(x, 1)) <=> c5(c, gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(x)) The following defined symbols remain to be analysed: mark, A__F, a__p, A__P, MARK, a__f They will be analysed ascendingly in the following order: a__p < A__F A__F = A__P A__F = MARK a__p = mark a__p = a__f A__P = MARK mark < MARK mark = a__f ---------------------------------------- (15) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10)) -> gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10), rt in Omega(0) Induction Base: mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(0)) ->_R^Omega(0) 0' Induction Step: mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(+(n9_10, 1))) ->_R^Omega(0) s(mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10))) ->_IH s(gen_0':s:f:p:cons6_10(c10_10)) We have rt in Omega(1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n^0). ---------------------------------------- (16) Obligation: Innermost TRS: Rules: A__F(0') -> c A__F(s(0')) -> c1(A__F(a__p(s(0'))), A__P(s(0'))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0') -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0') -> 0' mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Types: A__F :: 0':s:f:p:cons -> c:c1:c2 0' :: 0':s:f:p:cons c :: c:c1:c2 s :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c1 :: c:c1:c2 -> c3:c4 -> c:c1:c2 a__p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons A__P :: 0':s:f:p:cons -> c3:c4 c2 :: c:c1:c2 c3 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c3:c4 MARK :: 0':s:f:p:cons -> c5:c6:c7:c8:c9 c4 :: c3:c4 f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c5 :: c:c1:c2 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 mark :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c6 :: c3:c4 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c7 :: c5:c6:c7:c8:c9 cons :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c9 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 a__f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons hole_c:c1:c21_10 :: c:c1:c2 hole_0':s:f:p:cons2_10 :: 0':s:f:p:cons hole_c3:c43_10 :: c3:c4 hole_c5:c6:c7:c8:c94_10 :: c5:c6:c7:c8:c9 gen_c:c1:c25_10 :: Nat -> c:c1:c2 gen_0':s:f:p:cons6_10 :: Nat -> 0':s:f:p:cons gen_c5:c6:c7:c8:c97_10 :: Nat -> c5:c6:c7:c8:c9 Lemmas: mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10)) -> gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10), rt in Omega(0) Generator Equations: gen_c:c1:c25_10(0) <=> c gen_c:c1:c25_10(+(x, 1)) <=> c1(gen_c:c1:c25_10(x), c3(c7)) gen_0':s:f:p:cons6_10(0) <=> 0' gen_0':s:f:p:cons6_10(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:f:p:cons6_10(x)) gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(0) <=> c7 gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(+(x, 1)) <=> c5(c, gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(x)) The following defined symbols remain to be analysed: a__f, A__F, a__p, A__P, MARK They will be analysed ascendingly in the following order: a__p < A__F A__F = A__P A__F = MARK a__p = mark a__p = a__f A__P = MARK mark < MARK mark = a__f ---------------------------------------- (17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID)) Proved the following rewrite lemma: MARK(gen_0':s:f:p:cons6_10(+(1, n6038_10))) -> *8_10, rt in Omega(n6038_10) Induction Base: MARK(gen_0':s:f:p:cons6_10(+(1, 0))) Induction Step: MARK(gen_0':s:f:p:cons6_10(+(1, +(n6038_10, 1)))) ->_R^Omega(1) c9(MARK(gen_0':s:f:p:cons6_10(+(1, n6038_10)))) ->_IH c9(*8_10) We have rt in Omega(n^1) and sz in O(n). Thus, we have irc_R in Omega(n). ---------------------------------------- (18) Complex Obligation (BEST) ---------------------------------------- (19) Obligation: Proved the lower bound n^1 for the following obligation: Innermost TRS: Rules: A__F(0') -> c A__F(s(0')) -> c1(A__F(a__p(s(0'))), A__P(s(0'))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0') -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0') -> 0' mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Types: A__F :: 0':s:f:p:cons -> c:c1:c2 0' :: 0':s:f:p:cons c :: c:c1:c2 s :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c1 :: c:c1:c2 -> c3:c4 -> c:c1:c2 a__p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons A__P :: 0':s:f:p:cons -> c3:c4 c2 :: c:c1:c2 c3 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c3:c4 MARK :: 0':s:f:p:cons -> c5:c6:c7:c8:c9 c4 :: c3:c4 f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c5 :: c:c1:c2 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 mark :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c6 :: c3:c4 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c7 :: c5:c6:c7:c8:c9 cons :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c9 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 a__f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons hole_c:c1:c21_10 :: c:c1:c2 hole_0':s:f:p:cons2_10 :: 0':s:f:p:cons hole_c3:c43_10 :: c3:c4 hole_c5:c6:c7:c8:c94_10 :: c5:c6:c7:c8:c9 gen_c:c1:c25_10 :: Nat -> c:c1:c2 gen_0':s:f:p:cons6_10 :: Nat -> 0':s:f:p:cons gen_c5:c6:c7:c8:c97_10 :: Nat -> c5:c6:c7:c8:c9 Lemmas: mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10)) -> gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10), rt in Omega(0) Generator Equations: gen_c:c1:c25_10(0) <=> c gen_c:c1:c25_10(+(x, 1)) <=> c1(gen_c:c1:c25_10(x), c3(c7)) gen_0':s:f:p:cons6_10(0) <=> 0' gen_0':s:f:p:cons6_10(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:f:p:cons6_10(x)) gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(0) <=> c7 gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(+(x, 1)) <=> c5(c, gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(x)) The following defined symbols remain to be analysed: MARK, A__F They will be analysed ascendingly in the following order: A__F = A__P A__F = MARK A__P = MARK ---------------------------------------- (20) LowerBoundPropagationProof (FINISHED) Propagated lower bound. ---------------------------------------- (21) BOUNDS(n^1, INF) ---------------------------------------- (22) Obligation: Innermost TRS: Rules: A__F(0') -> c A__F(s(0')) -> c1(A__F(a__p(s(0'))), A__P(s(0'))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0') -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) a__f(0') -> cons(0', f(s(0'))) a__f(s(0')) -> a__f(a__p(s(0'))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0') -> 0' mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Types: A__F :: 0':s:f:p:cons -> c:c1:c2 0' :: 0':s:f:p:cons c :: c:c1:c2 s :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c1 :: c:c1:c2 -> c3:c4 -> c:c1:c2 a__p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons A__P :: 0':s:f:p:cons -> c3:c4 c2 :: c:c1:c2 c3 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c3:c4 MARK :: 0':s:f:p:cons -> c5:c6:c7:c8:c9 c4 :: c3:c4 f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c5 :: c:c1:c2 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 mark :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons p :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c6 :: c3:c4 -> c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c7 :: c5:c6:c7:c8:c9 cons :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 c9 :: c5:c6:c7:c8:c9 -> c5:c6:c7:c8:c9 a__f :: 0':s:f:p:cons -> 0':s:f:p:cons hole_c:c1:c21_10 :: c:c1:c2 hole_0':s:f:p:cons2_10 :: 0':s:f:p:cons hole_c3:c43_10 :: c3:c4 hole_c5:c6:c7:c8:c94_10 :: c5:c6:c7:c8:c9 gen_c:c1:c25_10 :: Nat -> c:c1:c2 gen_0':s:f:p:cons6_10 :: Nat -> 0':s:f:p:cons gen_c5:c6:c7:c8:c97_10 :: Nat -> c5:c6:c7:c8:c9 Lemmas: mark(gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10)) -> gen_0':s:f:p:cons6_10(n9_10), rt in Omega(0) MARK(gen_0':s:f:p:cons6_10(+(1, n6038_10))) -> *8_10, rt in Omega(n6038_10) Generator Equations: gen_c:c1:c25_10(0) <=> c gen_c:c1:c25_10(+(x, 1)) <=> c1(gen_c:c1:c25_10(x), c3(c7)) gen_0':s:f:p:cons6_10(0) <=> 0' gen_0':s:f:p:cons6_10(+(x, 1)) <=> s(gen_0':s:f:p:cons6_10(x)) gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(0) <=> c7 gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(+(x, 1)) <=> c5(c, gen_c5:c6:c7:c8:c97_10(x)) The following defined symbols remain to be analysed: A__F, A__P They will be analysed ascendingly in the following order: A__F = A__P A__F = MARK A__P = MARK ---------------------------------------- (23) CpxTrsToCdtProof (UPPER BOUND(ID)) Converted Cpx (relative) TRS with rewrite strategy PARALLEL_INNERMOST to CDT ---------------------------------------- (24) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__F(0) -> c A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) S tuples: A__F(0) -> c A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__F(z0) -> c2 A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) A__P(z0) -> c4 MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(0) -> c7 MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__F_1, A__P_1, MARK_1 Compound Symbols: c, c1_2, c2, c3_1, c4, c5_2, c6_2, c7, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (25) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 4 trailing nodes: A__F(0) -> c A__F(z0) -> c2 A__P(z0) -> c4 MARK(0) -> c7 ---------------------------------------- (26) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) S tuples: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__F_1, A__P_1, MARK_1 Compound Symbols: c1_2, c3_1, c5_2, c6_2, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (27) CdtToCpxRelTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Converted S to standard rules, and D \ S as well as R to relative rules. ---------------------------------------- (28) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxRelTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) The (relative) TRS S consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (29) RelTrsToTrsProof (UPPER BOUND(ID)) transformed relative TRS to TRS ---------------------------------------- (30) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) S is empty. Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (31) RelTrsToWeightedTrsProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (32) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) [1] A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) [1] MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) [1] MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) [1] a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [0] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [0] a__f(z0) -> f(z0) [0] a__p(s(z0)) -> mark(z0) [0] a__p(z0) -> p(z0) [0] mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) [0] mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) [0] mark(0) -> 0 [0] mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) [0] mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) [0] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (33) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (34) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) [1] A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) [1] MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) [1] MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) [1] a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [0] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [0] a__f(z0) -> f(z0) [0] a__p(s(z0)) -> mark(z0) [0] a__p(z0) -> p(z0) [0] mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) [0] mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) [0] mark(0) -> 0 [0] mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) [0] mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) [0] The TRS has the following type information: A__F :: 0:s:f:p:cons -> c1 s :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons 0 :: 0:s:f:p:cons c1 :: c1 -> c3 -> c1 a__p :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons A__P :: 0:s:f:p:cons -> c3 c3 :: c5:c6:c8:c9 -> c3 MARK :: 0:s:f:p:cons -> c5:c6:c8:c9 f :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c5 :: c1 -> c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 mark :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons p :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c6 :: c3 -> c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 cons :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 c9 :: c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 a__f :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (35) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: A__F_1 A__P_1 MARK_1 (c) The following functions are completely defined: a__f_1 a__p_1 mark_1 Due to the following rules being added: a__f(v0) -> 0 [0] a__p(v0) -> 0 [0] mark(v0) -> 0 [0] And the following fresh constants: const, const1, const2 ---------------------------------------- (36) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) [1] A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) [1] MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) [1] MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) [1] a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [0] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [0] a__f(z0) -> f(z0) [0] a__p(s(z0)) -> mark(z0) [0] a__p(z0) -> p(z0) [0] mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) [0] mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) [0] mark(0) -> 0 [0] mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) [0] mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) [0] a__f(v0) -> 0 [0] a__p(v0) -> 0 [0] mark(v0) -> 0 [0] The TRS has the following type information: A__F :: 0:s:f:p:cons -> c1 s :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons 0 :: 0:s:f:p:cons c1 :: c1 -> c3 -> c1 a__p :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons A__P :: 0:s:f:p:cons -> c3 c3 :: c5:c6:c8:c9 -> c3 MARK :: 0:s:f:p:cons -> c5:c6:c8:c9 f :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c5 :: c1 -> c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 mark :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons p :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c6 :: c3 -> c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 cons :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 c9 :: c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 a__f :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons const :: c1 const1 :: c3 const2 :: c5:c6:c8:c9 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (37) NarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Narrowed the inner basic terms of all right-hand sides by a single narrowing step. ---------------------------------------- (38) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) [1] A__F(s(0)) -> c1(A__F(p(s(0))), A__P(s(0))) [1] A__F(s(0)) -> c1(A__F(0), A__P(s(0))) [1] A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) [1] MARK(f(f(z0'))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0'))), MARK(f(z0'))) [1] MARK(f(p(z0''))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0''))), MARK(p(z0''))) [1] MARK(f(0)) -> c5(A__F(0), MARK(0)) [1] MARK(f(cons(z01, z1'))) -> c5(A__F(cons(mark(z01), z1')), MARK(cons(z01, z1'))) [1] MARK(f(s(z02))) -> c5(A__F(s(mark(z02))), MARK(s(z02))) [1] MARK(f(z0)) -> c5(A__F(0), MARK(z0)) [1] MARK(p(f(z03))) -> c6(A__P(a__f(mark(z03))), MARK(f(z03))) [1] MARK(p(p(z04))) -> c6(A__P(a__p(mark(z04))), MARK(p(z04))) [1] MARK(p(0)) -> c6(A__P(0), MARK(0)) [1] MARK(p(cons(z05, z1''))) -> c6(A__P(cons(mark(z05), z1'')), MARK(cons(z05, z1''))) [1] MARK(p(s(z06))) -> c6(A__P(s(mark(z06))), MARK(s(z06))) [1] MARK(p(z0)) -> c6(A__P(0), MARK(z0)) [1] MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) [1] MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) [1] a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [0] a__f(s(0)) -> a__f(mark(0)) [0] a__f(s(0)) -> a__f(p(s(0))) [0] a__f(s(0)) -> a__f(0) [0] a__f(z0) -> f(z0) [0] a__p(s(z0)) -> mark(z0) [0] a__p(z0) -> p(z0) [0] mark(f(f(z07))) -> a__f(a__f(mark(z07))) [0] mark(f(p(z08))) -> a__f(a__p(mark(z08))) [0] mark(f(0)) -> a__f(0) [0] mark(f(cons(z09, z11))) -> a__f(cons(mark(z09), z11)) [0] mark(f(s(z010))) -> a__f(s(mark(z010))) [0] mark(f(z0)) -> a__f(0) [0] mark(p(f(z011))) -> a__p(a__f(mark(z011))) [0] mark(p(p(z012))) -> a__p(a__p(mark(z012))) [0] mark(p(0)) -> a__p(0) [0] mark(p(cons(z013, z12))) -> a__p(cons(mark(z013), z12)) [0] mark(p(s(z014))) -> a__p(s(mark(z014))) [0] mark(p(z0)) -> a__p(0) [0] mark(0) -> 0 [0] mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) [0] mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) [0] a__f(v0) -> 0 [0] a__p(v0) -> 0 [0] mark(v0) -> 0 [0] The TRS has the following type information: A__F :: 0:s:f:p:cons -> c1 s :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons 0 :: 0:s:f:p:cons c1 :: c1 -> c3 -> c1 a__p :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons A__P :: 0:s:f:p:cons -> c3 c3 :: c5:c6:c8:c9 -> c3 MARK :: 0:s:f:p:cons -> c5:c6:c8:c9 f :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c5 :: c1 -> c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 mark :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons p :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c6 :: c3 -> c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 cons :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons c8 :: c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 c9 :: c5:c6:c8:c9 -> c5:c6:c8:c9 a__f :: 0:s:f:p:cons -> 0:s:f:p:cons const :: c1 const1 :: c3 const2 :: c5:c6:c8:c9 Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (39) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 const => 0 const1 => 0 const2 => 0 ---------------------------------------- (40) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(mark(0)) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(0) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(1 + (1 + 0)) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__P(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z1 >= 0, z0 >= 0, z = 1 + z0 + z1 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(a__p(mark(z04))) + MARK(1 + z04) :|: z04 >= 0, z = 1 + (1 + z04) MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(a__f(mark(z03))) + MARK(1 + z03) :|: z = 1 + (1 + z03), z03 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(0) + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(0) + MARK(0) :|: z = 1 + 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(1 + mark(z06)) + MARK(1 + z06) :|: z06 >= 0, z = 1 + (1 + z06) MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(1 + mark(z05) + z1'') + MARK(1 + z05 + z1'') :|: z = 1 + (1 + z05 + z1''), z05 >= 0, z1'' >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(a__p(mark(z0''))) + MARK(1 + z0'') :|: z = 1 + (1 + z0''), z0'' >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(a__f(mark(z0'))) + MARK(1 + z0') :|: z = 1 + (1 + z0'), z0' >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(0) + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(0) + MARK(0) :|: z = 1 + 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(1 + mark(z02)) + MARK(1 + z02) :|: z = 1 + (1 + z02), z02 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(1 + mark(z01) + z1') + MARK(1 + z01 + z1') :|: z = 1 + (1 + z01 + z1'), z01 >= 0, z1' >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(mark(0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(0) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(1 + (1 + 0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 a__f(z) -{ 0 }-> 1 + z0 :|: z = z0, z0 >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> 1 + 0 + (1 + (1 + 0)) :|: z = 0 a__p(z) -{ 0 }-> mark(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 a__p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 a__p(z) -{ 0 }-> 1 + z0 :|: z = z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(a__p(mark(z012))) :|: z012 >= 0, z = 1 + (1 + z012) mark(z) -{ 0 }-> a__p(a__f(mark(z011))) :|: z = 1 + (1 + z011), z011 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(1 + mark(z014)) :|: z = 1 + (1 + z014), z014 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(1 + mark(z013) + z12) :|: z013 >= 0, z12 >= 0, z = 1 + (1 + z013 + z12) mark(z) -{ 0 }-> a__f(a__p(mark(z08))) :|: z08 >= 0, z = 1 + (1 + z08) mark(z) -{ 0 }-> a__f(a__f(mark(z07))) :|: z = 1 + (1 + z07), z07 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(1 + mark(z010)) :|: z = 1 + (1 + z010), z010 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(1 + mark(z09) + z11) :|: z = 1 + (1 + z09 + z11), z11 >= 0, z09 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + mark(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + mark(z0) + z1 :|: z1 >= 0, z0 >= 0, z = 1 + z0 + z1 ---------------------------------------- (41) SimplificationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Simplified the RNTS by moving equalities from the constraints into the right-hand sides. ---------------------------------------- (42) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(mark(0)) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(0) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(1 + (1 + 0)) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__P(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z - 1) :|: z - 1 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z1 >= 0, z0 >= 0, z = 1 + z0 + z1 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z - 1) :|: z - 1 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(a__p(mark(z - 2))) + MARK(1 + (z - 2)) :|: z - 2 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(a__f(mark(z - 2))) + MARK(1 + (z - 2)) :|: z - 2 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(0) + MARK(0) :|: z = 1 + 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(0) + MARK(z - 1) :|: z - 1 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(1 + mark(z - 2)) + MARK(1 + (z - 2)) :|: z - 2 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(1 + mark(z05) + z1'') + MARK(1 + z05 + z1'') :|: z = 1 + (1 + z05 + z1''), z05 >= 0, z1'' >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(a__p(mark(z - 2))) + MARK(1 + (z - 2)) :|: z - 2 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(a__f(mark(z - 2))) + MARK(1 + (z - 2)) :|: z - 2 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(0) + MARK(0) :|: z = 1 + 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(0) + MARK(z - 1) :|: z - 1 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(1 + mark(z - 2)) + MARK(1 + (z - 2)) :|: z - 2 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(1 + mark(z01) + z1') + MARK(1 + z01 + z1') :|: z = 1 + (1 + z01 + z1'), z01 >= 0, z1' >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(mark(0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(0) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(1 + (1 + 0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> 1 + 0 + (1 + (1 + 0)) :|: z = 0 a__p(z) -{ 0 }-> mark(z - 1) :|: z - 1 >= 0 a__p(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 a__p(z) -{ 0 }-> 1 + z :|: z >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(a__p(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(a__f(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(0) :|: z - 1 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(1 + mark(z - 2)) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(1 + mark(z013) + z12) :|: z013 >= 0, z12 >= 0, z = 1 + (1 + z013 + z12) mark(z) -{ 0 }-> a__f(a__p(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(a__f(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(0) :|: z - 1 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(1 + mark(z - 2)) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(1 + mark(z09) + z11) :|: z = 1 + (1 + z09 + z11), z11 >= 0, z09 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: z >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + mark(z - 1) :|: z - 1 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + mark(z0) + z1 :|: z1 >= 0, z0 >= 0, z = 1 + z0 + z1 ---------------------------------------- (43) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The TRS is a completely defined constructor system, as every type has a constant constructor and the following rules were added: a__f(v0) -> null_a__f [0] a__p(v0) -> null_a__p [0] mark(v0) -> null_mark [0] A__F(v0) -> null_A__F [0] A__P(v0) -> null_A__P [0] MARK(v0) -> null_MARK [0] And the following fresh constants: null_a__f, null_a__p, null_mark, null_A__F, null_A__P, null_MARK ---------------------------------------- (44) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) [1] A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) [1] MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) [1] MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) [1] MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) [1] a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [0] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [0] a__f(z0) -> f(z0) [0] a__p(s(z0)) -> mark(z0) [0] a__p(z0) -> p(z0) [0] mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) [0] mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) [0] mark(0) -> 0 [0] mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) [0] mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) [0] a__f(v0) -> null_a__f [0] a__p(v0) -> null_a__p [0] mark(v0) -> null_mark [0] A__F(v0) -> null_A__F [0] A__P(v0) -> null_A__P [0] MARK(v0) -> null_MARK [0] The TRS has the following type information: A__F :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> c1:null_A__F s :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark 0 :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark c1 :: c1:null_A__F -> c3:null_A__P -> c1:null_A__F a__p :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark A__P :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> c3:null_A__P c3 :: c5:c6:c8:c9:null_MARK -> c3:null_A__P MARK :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> c5:c6:c8:c9:null_MARK f :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark c5 :: c1:null_A__F -> c5:c6:c8:c9:null_MARK -> c5:c6:c8:c9:null_MARK mark :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark p :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark c6 :: c3:null_A__P -> c5:c6:c8:c9:null_MARK -> c5:c6:c8:c9:null_MARK cons :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark c8 :: c5:c6:c8:c9:null_MARK -> c5:c6:c8:c9:null_MARK c9 :: c5:c6:c8:c9:null_MARK -> c5:c6:c8:c9:null_MARK a__f :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark -> 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark null_a__f :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark null_a__p :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark null_mark :: 0:s:f:p:cons:null_a__f:null_a__p:null_mark null_A__F :: c1:null_A__F null_A__P :: c3:null_A__P null_MARK :: c5:c6:c8:c9:null_MARK Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (45) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 null_a__f => 0 null_a__p => 0 null_mark => 0 null_A__F => 0 null_A__P => 0 null_MARK => 0 ---------------------------------------- (46) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: A__F(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 A__F(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(a__p(1 + 0)) + A__P(1 + 0) :|: z = 1 + 0 A__P(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 A__P(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z1 >= 0, z0 >= 0, z = 1 + z0 + z1 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__P(mark(z0)) + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 MARK(z) -{ 1 }-> 1 + A__F(mark(z0)) + MARK(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> a__f(a__p(1 + 0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 a__f(z) -{ 0 }-> 1 + z0 :|: z = z0, z0 >= 0 a__f(z) -{ 0 }-> 1 + 0 + (1 + (1 + 0)) :|: z = 0 a__p(z) -{ 0 }-> mark(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 a__p(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 a__p(z) -{ 0 }-> 1 + z0 :|: z = z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__p(mark(z0)) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> a__f(mark(z0)) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: z = 0 mark(z) -{ 0 }-> 0 :|: v0 >= 0, z = v0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + mark(z0) :|: z = 1 + z0, z0 >= 0 mark(z) -{ 0 }-> 1 + mark(z0) + z1 :|: z1 >= 0, z0 >= 0, z = 1 + z0 + z1 Only complete derivations are relevant for the runtime complexity. ---------------------------------------- (47) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace A__F(s(0)) -> c1(A__F(a__p(s(0))), A__P(s(0))) by A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__F(p(s(0))), A__P(s(0))) ---------------------------------------- (48) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__F(p(s(0))), A__P(s(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__F(p(s(0))), A__P(s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c5_2, c6_2, c8_1, c9_1, c1_2 ---------------------------------------- (49) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (50) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c5_2, c6_2, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1 ---------------------------------------- (51) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(f(z0)) -> c5(A__F(mark(z0)), MARK(z0)) by MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(0)) -> c5(A__F(0), MARK(0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(A__F(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) ---------------------------------------- (52) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(0)) -> c5(A__F(0), MARK(0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(A__F(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(0)) -> c5(A__F(0), MARK(0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(A__F(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c6_2, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1, c5_2 ---------------------------------------- (53) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: MARK(f(0)) -> c5(A__F(0), MARK(0)) ---------------------------------------- (54) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(A__F(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(A__F(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c6_2, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1, c5_2 ---------------------------------------- (55) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (56) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c6_2, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1, c5_2, c5_1 ---------------------------------------- (57) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(p(z0)) -> c6(A__P(mark(z0)), MARK(z0)) by MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(0)) -> c6(A__P(0), MARK(0)) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(A__P(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) ---------------------------------------- (58) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(0)) -> c6(A__P(0), MARK(0)) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(A__P(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(0)) -> c6(A__P(0), MARK(0)) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(A__P(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2 ---------------------------------------- (59) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: MARK(p(0)) -> c6(A__P(0), MARK(0)) ---------------------------------------- (60) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(A__P(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(A__P(cons(mark(z0), z1)), MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2 ---------------------------------------- (61) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (62) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_2, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1 ---------------------------------------- (63) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace A__F(s(0)) -> c1(A__F(mark(0)), A__P(s(0))) by A__F(s(0)) -> c1(A__F(0), A__P(s(0))) ---------------------------------------- (64) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) A__F(s(0)) -> c1(A__F(0), A__P(s(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) A__F(s(0)) -> c1(A__F(0), A__P(s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1, c1_2 ---------------------------------------- (65) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (66) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1 ---------------------------------------- (67) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(f(f(z0))) -> c5(A__F(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) by MARK(f(f(x0))) -> c5(A__F(f(mark(x0))), MARK(f(x0))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0)), MARK(f(0))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) ---------------------------------------- (68) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(A__F(f(mark(x0))), MARK(f(x0))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0)), MARK(f(0))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(A__F(f(mark(x0))), MARK(f(x0))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0)), MARK(f(0))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1 ---------------------------------------- (69) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (70) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1 ---------------------------------------- (71) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(f(p(z0))) -> c5(A__F(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) by MARK(f(p(x0))) -> c5(A__F(p(mark(x0))), MARK(p(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0)), MARK(p(0))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) ---------------------------------------- (72) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(A__F(p(mark(x0))), MARK(p(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0)), MARK(p(0))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(A__F(p(mark(x0))), MARK(p(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0)), MARK(p(0))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1 ---------------------------------------- (73) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (74) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_2, c5_1, c6_2, c6_1 ---------------------------------------- (75) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(f(s(z0))) -> c5(A__F(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) by MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(A__F(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) ---------------------------------------- (76) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(A__F(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(A__F(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (77) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (78) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> 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Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (79) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(p(f(z0))) -> c6(A__P(a__f(mark(z0))), MARK(f(z0))) by MARK(p(f(x0))) -> c6(A__P(f(mark(x0))), MARK(f(x0))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0)), MARK(f(0))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) ---------------------------------------- (80) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) 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MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(A__P(f(mark(x0))), MARK(f(x0))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0)), MARK(f(0))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (81) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (82) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), 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A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (83) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(p(p(z0))) -> c6(A__P(a__p(mark(z0))), MARK(p(z0))) by MARK(p(p(x0))) -> c6(A__P(p(mark(x0))), MARK(p(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0)), MARK(p(0))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) ---------------------------------------- (84) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(x0))) -> c6(A__P(p(mark(x0))), MARK(p(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0)), MARK(p(0))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(x0))) -> c6(A__P(p(mark(x0))), MARK(p(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0)), MARK(p(0))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (85) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing tuple parts ---------------------------------------- (86) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (87) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(a__f(0))) by MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(cons(0, f(s(0))))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(f(0))) ---------------------------------------- (88) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(cons(0, f(s(0))))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(f(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(cons(0, f(s(0))))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(f(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (89) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(f(0))) MARK(f(f(0))) -> c5(A__F(cons(0, f(s(0))))) ---------------------------------------- (90) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (91) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(a__p(0))) by MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(p(0))) ---------------------------------------- (92) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(p(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (93) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: MARK(f(p(0))) -> c5(A__F(p(0))) ---------------------------------------- (94) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> 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MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (95) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(a__f(0))) by MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(cons(0, f(s(0))))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(f(0))) ---------------------------------------- (96) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> 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f(s(0))))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(f(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(cons(0, f(s(0))))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(f(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (97) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(f(0))) MARK(p(f(0))) -> c6(A__P(cons(0, f(s(0))))) ---------------------------------------- (98) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (99) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(a__p(0))) by MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(p(0))) ---------------------------------------- (100) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(p(0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(p(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (101) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: MARK(p(p(0))) -> c6(A__P(p(0))) ---------------------------------------- (102) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) S tuples: A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: A__P_1, MARK_1, A__F_1 Compound Symbols: c3_1, c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2 ---------------------------------------- (103) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(z0)) -> c3(MARK(z0)) by A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) ---------------------------------------- (104) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) S tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__F_1, A__P_1 Compound Symbols: c8_1, c9_1, c1_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2, c3_1 ---------------------------------------- (105) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing nodes: A__F(s(0)) -> c1(A__P(s(0))) ---------------------------------------- (106) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) S tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(A__F(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(A__F(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(A__F(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(A__F(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(A__F(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(A__F(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(A__F(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(A__F(s(0)), MARK(s(0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c8_1, c9_1, c5_1, c6_2, c6_1, c5_2, c3_1 ---------------------------------------- (107) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 11 trailing tuple parts ---------------------------------------- (108) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) S tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c8_1, c9_1, c5_1, c6_2, c6_1, c3_1 ---------------------------------------- (109) CdtNarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use narrowing to replace MARK(p(s(z0))) -> c6(A__P(s(mark(z0))), MARK(s(z0))) by MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(0))) -> c6(A__P(s(0)), MARK(s(0))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) ---------------------------------------- (110) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(0))) -> c6(A__P(s(0)), MARK(s(0))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) S tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(0))) -> c6(A__P(s(0)), MARK(s(0))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c8_1, c9_1, c5_1, c6_1, c6_2, c3_1 ---------------------------------------- (111) CdtRhsSimplificationProcessorProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 1 trailing tuple parts ---------------------------------------- (112) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(p(s(0))) -> c6(MARK(s(0))) S tuples: MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(p(s(0))) -> c6(MARK(s(0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c8_1, c9_1, c5_1, c6_1, c6_2, c3_1 ---------------------------------------- (113) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(cons(z0, z1)) -> c8(MARK(z0)) by MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(f(s(0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(0)))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) ---------------------------------------- (114) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(p(s(0))) -> c6(MARK(s(0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(f(s(0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(0)))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) S tuples: MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(p(s(0))) -> c6(MARK(s(0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(f(s(0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(0)))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c9_1, c5_1, c6_1, c6_2, c3_1, c8_1 ---------------------------------------- (115) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(s(z0)) -> c9(MARK(z0)) by MARK(s(s(y0))) -> c9(MARK(s(y0))) MARK(s(f(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(s(p(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> c9(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(p(s(y0))))) -> c9(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(s(p(p(y0)))) -> c9(MARK(p(p(y0)))) MARK(s(f(f(f(y0))))) -> c9(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(s(f(f(p(y0))))) -> c9(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(f(s(y0))))) -> c9(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(s(f(p(f(y0))))) -> c9(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(s(f(p(p(y0))))) -> c9(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(p(s(y0))))) -> c9(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(s(f(s(f(y0))))) -> c9(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(s(f(s(p(y0))))) -> c9(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(s(f(s(0)))) -> c9(MARK(f(s(0)))) MARK(s(p(s(f(y0))))) -> c9(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(s(p(s(p(y0))))) -> c9(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(s(s(y0))))) -> c9(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(s(p(s(y0)))) -> c9(MARK(p(s(y0)))) MARK(s(p(s(0)))) -> c9(MARK(p(s(0)))) MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2))) -> c9(MARK(cons(cons(y0, y1), y2))) MARK(s(cons(s(y0), y1))) -> c9(MARK(cons(s(y0), y1))) MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(0)), y0))) -> c9(MARK(cons(f(s(0)), y0))) MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(s(0)), y0))) -> c9(MARK(cons(p(s(0)), y0))) ---------------------------------------- (116) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) 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c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(0)), y0))) -> c9(MARK(cons(f(s(0)), y0))) MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(s(0)), y0))) -> c9(MARK(cons(p(s(0)), y0))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_1, c6_2, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (117) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 2 trailing nodes: MARK(f(s(0))) -> c5(MARK(s(0))) MARK(p(s(0))) -> c6(MARK(s(0))) ---------------------------------------- (118) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> 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---------------------------------------- (119) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(cons(z0, z1))) -> c5(MARK(cons(z0, z1))) by MARK(f(cons(cons(y0, y1), z1))) -> c5(MARK(cons(cons(y0, y1), z1))) MARK(f(cons(s(y0), z1))) -> c5(MARK(cons(s(y0), z1))) MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1))) -> c5(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1))) MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1))) MARK(f(cons(f(f(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(f(f(y0)), z1))) MARK(f(cons(f(p(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(f(p(y0)), z1))) MARK(f(cons(f(s(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(f(s(y0)), z1))) MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))) MARK(f(cons(f(s(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(s(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(f(f(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(f(f(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(f(p(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(f(p(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))) MARK(f(cons(p(f(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(f(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(f(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(f(y0)), z1))) MARK(f(cons(p(p(f(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(p(f(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(p(p(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(p(p(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))) MARK(f(cons(p(p(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(p(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(p(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(p(y0)), z1))) MARK(f(cons(f(f(f(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(f(f(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(f(p(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(f(p(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))) MARK(f(cons(f(f(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(f(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(p(f(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(p(f(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(p(p(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(p(p(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))) MARK(f(cons(f(p(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(p(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(s(f(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(s(f(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(s(p(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(f(s(p(y0))), z1))) MARK(f(cons(f(s(0)), z1))) -> c5(MARK(cons(f(s(0)), z1))) MARK(f(cons(p(s(f(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(f(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(s(p(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(p(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) MARK(f(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(s(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) MARK(f(cons(p(s(0)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(0)), z1))) ---------------------------------------- (120) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(f(s(0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(0)))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) MARK(s(s(y0))) -> c9(MARK(s(y0))) MARK(s(f(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(s(p(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> c9(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(p(s(y0))))) -> c9(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(s(p(p(y0)))) -> c9(MARK(p(p(y0)))) MARK(s(f(f(f(y0))))) -> c9(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(s(f(f(p(y0))))) -> c9(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(f(s(y0))))) -> c9(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(s(f(p(f(y0))))) -> c9(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(s(f(p(p(y0))))) -> c9(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(p(s(y0))))) -> c9(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(s(f(s(f(y0))))) -> c9(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(s(f(s(p(y0))))) -> c9(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(s(f(s(0)))) -> c9(MARK(f(s(0)))) MARK(s(p(s(f(y0))))) -> c9(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(s(p(s(p(y0))))) -> c9(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(s(s(y0))))) -> c9(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(s(p(s(y0)))) -> c9(MARK(p(s(y0)))) MARK(s(p(s(0)))) -> c9(MARK(p(s(0)))) MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2))) -> c9(MARK(cons(cons(y0, y1), y2))) MARK(s(cons(s(y0), y1))) -> c9(MARK(cons(s(y0), y1))) MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(0)), y0))) -> c9(MARK(cons(f(s(0)), y0))) MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1))) -> 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MARK(f(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) MARK(f(cons(p(s(y0)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) MARK(f(cons(p(s(0)), z1))) -> c5(MARK(cons(p(s(0)), z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c6_1, c5_1, c6_2, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (121) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(p(cons(z0, z1))) -> c6(MARK(cons(z0, z1))) by MARK(p(cons(cons(y0, y1), z1))) -> c6(MARK(cons(cons(y0, y1), z1))) MARK(p(cons(s(y0), z1))) -> c6(MARK(cons(s(y0), z1))) MARK(p(cons(f(cons(y0, y1)), z1))) -> c6(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1))) MARK(p(cons(p(cons(y0, y1)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1))) MARK(p(cons(f(f(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(f(f(y0)), z1))) MARK(p(cons(f(p(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(f(p(y0)), z1))) MARK(p(cons(f(s(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(f(s(y0)), z1))) MARK(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(f(s(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(s(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(f(f(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(f(f(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(f(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(f(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(p(f(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(f(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(f(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(f(y0)), z1))) MARK(p(cons(p(p(f(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(p(f(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(p(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(p(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(p(p(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(p(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(p(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(p(y0)), z1))) MARK(p(cons(f(f(f(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(f(f(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(f(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(f(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(f(f(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(f(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(p(f(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(p(f(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(p(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(p(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(f(p(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(p(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(s(f(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(s(f(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(s(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(f(s(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(f(s(0)), z1))) -> c6(MARK(cons(f(s(0)), z1))) MARK(p(cons(p(s(f(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(f(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) MARK(p(cons(p(s(0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(0)), z1))) ---------------------------------------- (122) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> 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MARK(p(cons(p(s(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) MARK(p(cons(p(s(0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(0)), z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c6_1, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (123) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(f(x0))) -> c5(MARK(f(x0))) by MARK(f(f(f(y0)))) -> c5(MARK(f(f(y0)))) MARK(f(f(p(y0)))) -> c5(MARK(f(p(y0)))) MARK(f(f(s(y0)))) -> c5(MARK(f(s(y0)))) MARK(f(f(s(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(s(s(y0))))) -> c5(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(f(f(f(f(y0))))) -> c5(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(f(f(f(p(y0))))) -> c5(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(f(f(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(f(s(y0))))) -> c5(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(f(f(p(f(y0))))) -> c5(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(f(f(p(p(y0))))) -> c5(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(f(f(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(p(s(y0))))) -> c5(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(f(f(s(f(y0))))) -> c5(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(f(f(s(p(y0))))) -> c5(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(f(f(cons(s(y0), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(s(y0), y1)))) MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(0)), y0)))) ---------------------------------------- (124) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(f(s(0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(0)))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) MARK(s(s(y0))) -> c9(MARK(s(y0))) MARK(s(f(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(s(p(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> c9(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(p(s(y0))))) -> c9(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(s(p(p(y0)))) -> c9(MARK(p(p(y0)))) MARK(s(f(f(f(y0))))) -> c9(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(s(f(f(p(y0))))) -> c9(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(f(s(y0))))) -> c9(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(s(f(p(f(y0))))) -> c9(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(s(f(p(p(y0))))) -> c9(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(p(s(y0))))) -> c9(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(s(f(s(f(y0))))) -> c9(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(s(f(s(p(y0))))) -> c9(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(s(f(s(0)))) -> c9(MARK(f(s(0)))) MARK(s(p(s(f(y0))))) -> c9(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(s(p(s(p(y0))))) -> c9(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(s(s(y0))))) -> c9(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(s(p(s(y0)))) -> c9(MARK(p(s(y0)))) MARK(s(p(s(0)))) -> c9(MARK(p(s(0)))) MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2))) -> c9(MARK(cons(cons(y0, y1), y2))) MARK(s(cons(s(y0), y1))) -> c9(MARK(cons(s(y0), y1))) MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> 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c6_1, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (125) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(p(x0))) -> c5(MARK(p(x0))) by MARK(f(p(f(f(y0))))) -> c5(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(f(p(f(p(y0))))) -> c5(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(f(p(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(p(f(s(y0))))) -> c5(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(f(p(f(y0)))) -> c5(MARK(p(f(y0)))) MARK(f(p(p(f(y0))))) -> c5(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(f(p(p(p(y0))))) -> c5(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(f(p(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(p(p(s(y0))))) -> c5(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(p(p(y0)))) -> c5(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(p(s(f(y0))))) -> c5(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(f(p(s(p(y0))))) -> c5(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(f(p(s(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(f(p(s(s(y0))))) -> c5(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(f(p(s(y0)))) -> c5(MARK(p(s(y0)))) MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(f(p(cons(s(y0), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(s(y0), y1)))) MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(0)), y0)))) ---------------------------------------- (126) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> 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y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> c9(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(p(s(y0))))) -> c9(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(s(p(p(y0)))) -> c9(MARK(p(p(y0)))) MARK(s(f(f(f(y0))))) -> c9(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(s(f(f(p(y0))))) -> c9(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(f(s(y0))))) -> c9(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(s(f(p(f(y0))))) -> c9(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(s(f(p(p(y0))))) -> c9(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(p(s(y0))))) -> c9(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(s(f(s(f(y0))))) -> c9(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(s(f(s(p(y0))))) -> c9(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(s(f(s(0)))) -> c9(MARK(f(s(0)))) MARK(s(p(s(f(y0))))) -> c9(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(s(p(s(p(y0))))) -> c9(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(s(s(y0))))) -> c9(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(s(p(s(y0)))) -> c9(MARK(p(s(y0)))) MARK(s(p(s(0)))) -> c9(MARK(p(s(0)))) MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2))) -> c9(MARK(cons(cons(y0, y1), y2))) MARK(s(cons(s(y0), y1))) -> c9(MARK(cons(s(y0), y1))) MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> 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MARK(p(cons(p(s(p(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(p(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) MARK(p(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) MARK(p(cons(p(s(y0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) MARK(p(cons(p(s(0)), z1))) -> c6(MARK(cons(p(s(0)), z1))) MARK(f(f(s(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(s(s(y0))))) -> c5(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(f(f(f(f(y0))))) -> c5(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(f(f(f(p(y0))))) -> c5(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(f(f(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(f(s(y0))))) -> c5(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(f(f(p(f(y0))))) -> c5(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(f(f(p(p(y0))))) -> c5(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(f(f(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(p(s(y0))))) -> c5(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(f(f(s(f(y0))))) -> c5(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(f(f(s(p(y0))))) -> c5(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(f(f(cons(s(y0), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(s(y0), y1)))) MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(0)), y0)))) MARK(f(p(f(f(y0))))) -> c5(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(f(p(f(p(y0))))) -> c5(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(f(p(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(p(f(s(y0))))) -> c5(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(f(p(p(f(y0))))) -> c5(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(f(p(p(p(y0))))) -> c5(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(f(p(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(p(p(s(y0))))) -> c5(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(p(s(f(y0))))) -> c5(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(f(p(s(p(y0))))) -> c5(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(f(p(s(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(f(p(s(s(y0))))) -> c5(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(f(p(cons(s(y0), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(s(y0), y1)))) MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(0)), y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c6_1, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (127) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(s(x0))) -> c5(MARK(s(x0))) by MARK(f(s(s(y0)))) -> c5(MARK(s(s(y0)))) MARK(f(s(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(s(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(s(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(s(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(s(f(f(y0))))) -> c5(MARK(s(f(f(y0))))) MARK(f(s(f(p(y0))))) -> c5(MARK(s(f(p(y0))))) MARK(f(s(f(s(y0))))) -> c5(MARK(s(f(s(y0))))) MARK(f(s(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(f(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(f(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(s(s(y0)))))) MARK(f(s(p(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(f(f(y0)))))) MARK(f(s(p(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(f(p(y0)))))) MARK(f(s(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(p(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(p(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(f(s(y0)))))) MARK(f(s(p(f(y0))))) -> c5(MARK(s(p(f(y0))))) MARK(f(s(p(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(p(f(y0)))))) MARK(f(s(p(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(p(p(y0)))))) MARK(f(s(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(p(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(p(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(p(s(y0)))))) MARK(f(s(p(p(y0))))) -> c5(MARK(s(p(p(y0))))) MARK(f(s(f(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(f(f(y0)))))) MARK(f(s(f(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(f(p(y0)))))) MARK(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(f(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(f(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(f(s(y0)))))) MARK(f(s(f(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(p(f(y0)))))) MARK(f(s(f(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(p(p(y0)))))) MARK(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(f(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(f(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(p(s(y0)))))) MARK(f(s(f(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(s(f(y0)))))) MARK(f(s(f(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(s(p(y0)))))) MARK(f(s(f(s(0))))) -> c5(MARK(s(f(s(0))))) MARK(f(s(p(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(s(f(y0)))))) MARK(f(s(p(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(s(p(y0)))))) MARK(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(p(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(p(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(s(s(y0)))))) MARK(f(s(p(s(y0))))) -> c5(MARK(s(p(s(y0))))) MARK(f(s(p(s(0))))) -> c5(MARK(s(p(s(0))))) MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(f(s(cons(s(y0), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(s(y0), y1)))) MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(0)), y0)))) ---------------------------------------- (128) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> 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MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), 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c5(MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(0)), y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c6_1, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (129) CdtLeafRemovalProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Removed 3 trailing nodes: MARK(cons(f(s(0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(0)))) MARK(s(f(s(0)))) -> c9(MARK(f(s(0)))) A__P(s(f(s(0)))) -> c3(MARK(f(s(0)))) ---------------------------------------- (130) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> 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y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(p(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(p(cons(p(s(0)), y0)))) MARK(f(s(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(s(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(s(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(s(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(s(f(f(y0))))) -> c5(MARK(s(f(f(y0))))) MARK(f(s(f(p(y0))))) -> c5(MARK(s(f(p(y0))))) MARK(f(s(f(s(y0))))) -> c5(MARK(s(f(s(y0))))) MARK(f(s(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(f(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(f(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(s(s(y0)))))) MARK(f(s(p(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(f(f(y0)))))) MARK(f(s(p(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(f(p(y0)))))) MARK(f(s(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(p(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(p(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(f(s(y0)))))) MARK(f(s(p(f(y0))))) -> c5(MARK(s(p(f(y0))))) MARK(f(s(p(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(p(f(y0)))))) MARK(f(s(p(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(p(p(y0)))))) MARK(f(s(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(p(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(p(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(p(s(y0)))))) MARK(f(s(p(p(y0))))) -> c5(MARK(s(p(p(y0))))) MARK(f(s(f(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(f(f(y0)))))) MARK(f(s(f(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(f(p(y0)))))) MARK(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(f(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(f(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(f(s(y0)))))) MARK(f(s(f(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(p(f(y0)))))) MARK(f(s(f(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(p(p(y0)))))) MARK(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(f(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(f(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(p(s(y0)))))) MARK(f(s(f(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(s(f(y0)))))) MARK(f(s(f(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(f(s(p(y0)))))) MARK(f(s(f(s(0))))) -> c5(MARK(s(f(s(0))))) MARK(f(s(p(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(s(f(y0)))))) MARK(f(s(p(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(s(p(y0)))))) MARK(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(s(p(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(s(p(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(s(p(s(s(y0)))))) MARK(f(s(p(s(y0))))) -> c5(MARK(s(p(s(y0))))) MARK(f(s(p(s(0))))) -> c5(MARK(s(p(s(0))))) MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(f(s(cons(s(y0), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(s(y0), y1)))) MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(0)), y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c6_1, c3_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (131) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(s(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(s(cons(z0, z1)))) by MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(cons(y0, y1), z1)))) MARK(f(s(cons(s(y0), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(s(y0), z1)))) MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) MARK(f(s(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(y0)), z1)))) MARK(f(s(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(y0)), z1)))) MARK(f(s(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(y0)), z1)))) MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(s(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(f(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(p(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(s(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(f(y0)), z1)))) MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(f(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(p(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(s(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(p(y0)), z1)))) MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(f(s(0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(f(s(0)), z1)))) MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), z1)))) MARK(f(s(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(y0)), z1)))) MARK(f(s(cons(p(s(0)), z1)))) -> c5(MARK(s(cons(p(s(0)), z1)))) ---------------------------------------- (132) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> 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CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(p(f(x0))) -> c6(MARK(f(x0))) by MARK(p(f(s(s(y0))))) -> c6(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(p(f(f(f(y0))))) -> c6(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(p(f(f(p(y0))))) -> c6(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(p(f(f(cons(y0, y1))))) -> c6(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(p(f(f(s(y0))))) -> c6(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(p(f(p(f(y0))))) -> c6(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(p(f(p(p(y0))))) -> c6(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(p(f(p(cons(y0, y1))))) -> c6(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(p(f(p(s(y0))))) -> c6(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(p(f(s(f(y0))))) -> c6(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(p(f(s(p(y0))))) -> c6(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(p(f(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c6(MARK(f(cons(cons(y0, y1), y2)))) MARK(p(f(cons(s(y0), y1)))) -> c6(MARK(f(cons(s(y0), y1)))) MARK(p(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c6(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(p(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c6(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) MARK(p(f(cons(f(f(y0)), y1)))) -> 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c6(MARK(f(s(f(s(p(y0))))))) MARK(p(f(s(f(s(0)))))) -> c6(MARK(f(s(f(s(0)))))) MARK(p(f(s(p(s(f(y0))))))) -> c6(MARK(f(s(p(s(f(y0))))))) MARK(p(f(s(p(s(p(y0))))))) -> c6(MARK(f(s(p(s(p(y0))))))) MARK(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) -> c6(MARK(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) MARK(p(f(s(p(s(s(y0))))))) -> c6(MARK(f(s(p(s(s(y0))))))) MARK(p(f(s(p(s(y0)))))) -> c6(MARK(f(s(p(s(y0)))))) MARK(p(f(s(p(s(0)))))) -> c6(MARK(f(s(p(s(0)))))) MARK(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(p(f(s(cons(s(y0), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(s(y0), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) -> c6(MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) -> c6(MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) ---------------------------------------- (134) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) MARK(p(p(x0))) -> c6(MARK(p(x0))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> 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MARK(p(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c6(MARK(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(p(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(f(s(0)), y0)))) -> c6(MARK(p(cons(f(s(0)), y0)))) MARK(p(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c6(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) MARK(p(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))) MARK(p(p(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c6(MARK(p(cons(p(s(y0)), y1)))) MARK(p(p(cons(p(s(0)), y0)))) -> 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c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(0)), y0)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) ---------------------------------------- (136) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> 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MARK(p(p(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(p(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(p(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(f(s(0)), y0)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(f(s(0)), y0)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(p(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c6(MARK(p(f(p(cons(p(s(0)), y0)))))) MARK(p(p(f(s(f(cons(y0, y1))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(cons(y0, y1))))))) MARK(p(p(f(s(p(cons(y0, y1))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(cons(y0, y1))))))) MARK(p(p(f(s(f(f(y0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(f(y0))))))) MARK(p(p(f(s(f(p(y0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(p(y0))))))) MARK(p(p(f(s(f(s(y0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(s(y0))))))) MARK(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(s(cons(y0, y1)))))))) MARK(p(p(f(s(f(s(s(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(s(s(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(f(f(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(f(f(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(f(p(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(f(p(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(f(cons(y0, y1)))))))) MARK(p(p(f(s(p(f(s(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(f(s(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(f(y0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(f(y0))))))) MARK(p(p(f(s(p(p(f(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(p(f(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(p(p(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(p(p(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(p(cons(y0, y1)))))))) MARK(p(p(f(s(p(p(s(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(p(s(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(p(y0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(p(y0))))))) MARK(p(p(f(s(f(f(f(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(f(f(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(f(p(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(f(p(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))))) MARK(p(p(f(s(f(f(s(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(f(s(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(p(f(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(p(f(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(p(p(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(p(p(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))))) MARK(p(p(f(s(f(p(s(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(p(s(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(s(f(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(s(f(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(s(p(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(s(p(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(f(s(0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(f(s(0))))))) MARK(p(p(f(s(p(s(f(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(s(f(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(s(p(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(s(p(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))))) MARK(p(p(f(s(p(s(s(y0)))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(s(s(y0)))))))) MARK(p(p(f(s(p(s(y0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(s(y0))))))) MARK(p(p(f(s(p(s(0))))))) -> c6(MARK(p(f(s(p(s(0))))))) MARK(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(s(y0), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(s(y0), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(f(s(0)), y0)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c6(MARK(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (137) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(cons(y0, y1))) -> c3(MARK(cons(y0, y1))) by A__P(s(cons(cons(y0, y1), z1))) -> c3(MARK(cons(cons(y0, y1), z1))) A__P(s(cons(s(y0), z1))) -> c3(MARK(cons(s(y0), z1))) A__P(s(cons(f(cons(y0, y1)), z1))) -> c3(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1))) A__P(s(cons(p(cons(y0, y1)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1))) A__P(s(cons(f(f(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(f(f(y0)), z1))) A__P(s(cons(f(p(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(f(p(y0)), z1))) A__P(s(cons(f(s(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(f(s(y0)), z1))) A__P(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))) A__P(s(cons(f(s(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(s(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(f(f(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(f(f(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(f(p(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(f(p(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))) A__P(s(cons(p(f(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(f(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(f(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(f(y0)), z1))) A__P(s(cons(p(p(f(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(p(f(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(p(p(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(p(p(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))) A__P(s(cons(p(p(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(p(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(p(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(p(y0)), z1))) A__P(s(cons(f(f(f(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(f(f(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(f(p(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(f(p(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))) A__P(s(cons(f(f(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(f(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(p(f(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(p(f(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(p(p(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(p(p(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))) A__P(s(cons(f(p(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(p(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(s(f(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(s(f(y0))), z1))) A__P(s(cons(f(s(p(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(f(s(p(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(s(f(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(f(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(s(p(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(p(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))) A__P(s(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(s(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) A__P(s(cons(p(s(0)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(0)), z1))) ---------------------------------------- (138) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> 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A__P(s(cons(p(s(s(y0))), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(s(y0))), z1))) A__P(s(cons(p(s(y0)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(y0)), z1))) A__P(s(cons(p(s(0)), z1))) -> c3(MARK(cons(p(s(0)), z1))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (139) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(s(y0))) -> c3(MARK(s(y0))) by A__P(s(s(s(y0)))) -> c3(MARK(s(s(y0)))) A__P(s(s(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(s(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(s(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(s(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(s(f(f(y0))))) -> c3(MARK(s(f(f(y0))))) A__P(s(s(f(p(y0))))) -> c3(MARK(s(f(p(y0))))) A__P(s(s(f(s(y0))))) -> c3(MARK(s(f(s(y0))))) A__P(s(s(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(s(f(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(s(f(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(s(s(y0)))))) A__P(s(s(p(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(f(f(y0)))))) A__P(s(s(p(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(f(p(y0)))))) A__P(s(s(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(s(p(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(s(p(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(f(s(y0)))))) A__P(s(s(p(f(y0))))) -> c3(MARK(s(p(f(y0))))) A__P(s(s(p(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(p(f(y0)))))) A__P(s(s(p(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(p(p(y0)))))) A__P(s(s(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(s(p(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(s(p(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(p(s(y0)))))) A__P(s(s(p(p(y0))))) -> c3(MARK(s(p(p(y0))))) A__P(s(s(f(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(f(f(y0)))))) A__P(s(s(f(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(f(p(y0)))))) A__P(s(s(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(s(f(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(s(f(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(f(s(y0)))))) A__P(s(s(f(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(p(f(y0)))))) A__P(s(s(f(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(p(p(y0)))))) A__P(s(s(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(s(f(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(s(f(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(p(s(y0)))))) A__P(s(s(f(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(s(f(y0)))))) A__P(s(s(f(s(p(y0)))))) -> 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A__P(s(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) 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---------------------------------------- (140) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> 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MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> 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A__P(s(s(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(0)), y0)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(0)), y0)))) A__P(s(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(0)), y0)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(0)), y0)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (141) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(f(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(f(cons(y0, y1)))) by A__P(s(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) A__P(s(f(cons(s(y0), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(s(y0), z1)))) A__P(s(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(0)), z1)))) ---------------------------------------- (142) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> 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c3(MARK(s(f(p(s(y0)))))) A__P(s(s(f(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(s(f(y0)))))) A__P(s(s(f(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(s(f(s(p(y0)))))) A__P(s(s(p(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(s(f(y0)))))) A__P(s(s(p(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(s(p(y0)))))) A__P(s(s(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(s(p(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(s(p(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(s(p(s(s(y0)))))) A__P(s(s(p(s(y0))))) -> c3(MARK(s(p(s(y0))))) A__P(s(s(p(s(0))))) -> c3(MARK(s(p(s(0))))) A__P(s(s(cons(cons(y0, y1), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2)))) A__P(s(s(cons(s(y0), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(s(y0), y1)))) A__P(s(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))) A__P(s(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))) A__P(s(s(cons(f(f(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(f(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(f(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(p(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(p(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(0)), y0)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(0)), y0)))) A__P(s(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(0)), y0)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(0)), y0)))) A__P(s(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) A__P(s(f(cons(s(y0), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(s(y0), z1)))) A__P(s(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(0)), z1)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (143) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(p(cons(y0, y1)))) -> c3(MARK(p(cons(y0, y1)))) by A__P(s(p(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(cons(y0, y1), z1)))) A__P(s(p(cons(s(y0), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(s(y0), z1)))) A__P(s(p(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(0)), z1)))) ---------------------------------------- (144) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) 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A__P(s(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(f(s(0)), y0)))) -> c3(MARK(s(cons(f(s(0)), y0)))) A__P(s(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))) A__P(s(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(y0)), y1)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(y0)), y1)))) A__P(s(s(cons(p(s(0)), y0)))) -> c3(MARK(s(cons(p(s(0)), y0)))) A__P(s(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) A__P(s(f(cons(s(y0), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(s(y0), z1)))) A__P(s(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(f(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(p(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(f(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(f(s(0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(y0)), z1)))) A__P(s(f(cons(p(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(f(cons(p(s(0)), z1)))) A__P(s(p(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(cons(y0, y1), z1)))) A__P(s(p(cons(s(y0), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(s(y0), z1)))) A__P(s(p(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(f(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(p(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(f(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(p(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(0)), z1)))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (145) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(f(f(y0)))) -> c3(MARK(f(f(y0)))) by A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(s(y0)))))) A__P(s(f(f(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(f(y0)))))) A__P(s(f(f(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(p(y0)))))) A__P(s(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(s(y0)))))) A__P(s(f(f(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(f(y0)))))) A__P(s(f(f(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(p(y0)))))) A__P(s(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(s(y0)))))) A__P(s(f(f(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(f(y0)))))) A__P(s(f(f(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(p(y0)))))) A__P(s(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) ---------------------------------------- (146) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> 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MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) 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MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) -> 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z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(f(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(f(s(0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(f(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(p(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(s(y0))), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(y0)), z1)))) A__P(s(p(cons(p(s(0)), z1)))) -> c3(MARK(p(cons(p(s(0)), z1)))) A__P(s(f(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(s(y0)))))) A__P(s(f(f(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(f(y0)))))) A__P(s(f(f(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(p(y0)))))) A__P(s(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(s(y0)))))) A__P(s(f(f(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(f(y0)))))) A__P(s(f(f(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(p(y0)))))) A__P(s(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(s(y0)))))) A__P(s(f(f(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(f(y0)))))) A__P(s(f(f(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(p(y0)))))) A__P(s(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (147) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(f(p(y0)))) -> c3(MARK(f(p(y0)))) by A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(f(f(y0)))))) A__P(s(f(p(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(f(p(y0)))))) A__P(s(f(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(p(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(p(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(f(s(y0)))))) A__P(s(f(p(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(p(f(y0)))))) A__P(s(f(p(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(p(p(y0)))))) A__P(s(f(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(p(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(p(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(p(s(y0)))))) A__P(s(f(p(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(s(f(y0)))))) A__P(s(f(p(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(s(p(y0)))))) A__P(s(f(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(p(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(p(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(s(s(y0)))))) A__P(s(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(f(p(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) A__P(s(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) ---------------------------------------- (148) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) 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y1)))))) -> c3(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(s(y0)))))) A__P(s(f(f(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(f(y0)))))) A__P(s(f(f(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(p(y0)))))) A__P(s(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(f(s(y0)))))) A__P(s(f(f(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(f(y0)))))) A__P(s(f(f(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(p(y0)))))) A__P(s(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(f(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(p(s(y0)))))) A__P(s(f(f(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(f(y0)))))) A__P(s(f(f(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(f(s(p(y0)))))) A__P(s(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> 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A__P(s(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) A__P(s(f(p(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(f(f(y0)))))) A__P(s(f(p(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(f(p(y0)))))) A__P(s(f(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(p(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(p(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(f(s(y0)))))) A__P(s(f(p(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(p(f(y0)))))) A__P(s(f(p(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(p(p(y0)))))) A__P(s(f(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(p(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(p(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(p(s(y0)))))) A__P(s(f(p(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(s(f(y0)))))) A__P(s(f(p(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(s(p(y0)))))) A__P(s(f(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(p(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(p(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(p(s(s(y0)))))) A__P(s(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(f(p(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> 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c3(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (149) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(f(s(y0)))) -> c3(MARK(f(s(y0)))) by A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(s(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(s(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(f(s(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(f(s(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(s(f(f(y0)))))) A__P(s(f(s(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(s(f(p(y0)))))) A__P(s(f(s(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(s(f(s(y0)))))) A__P(s(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))) A__P(s(f(s(f(s(s(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(s(s(y0))))))) A__P(s(f(s(p(f(f(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(f(f(y0))))))) A__P(s(f(s(p(f(p(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(f(p(y0))))))) A__P(s(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))) A__P(s(f(s(p(f(s(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(f(s(y0))))))) A__P(s(f(s(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(f(s(p(f(y0)))))) A__P(s(f(s(p(p(f(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(p(f(y0))))))) A__P(s(f(s(p(p(p(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(p(p(y0))))))) A__P(s(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))) A__P(s(f(s(p(p(s(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(p(s(y0))))))) A__P(s(f(s(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(f(s(p(p(y0)))))) A__P(s(f(s(f(f(f(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(f(f(y0))))))) A__P(s(f(s(f(f(p(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(f(p(y0))))))) A__P(s(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))) A__P(s(f(s(f(f(s(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(f(s(y0))))))) A__P(s(f(s(f(p(f(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(p(f(y0))))))) A__P(s(f(s(f(p(p(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(p(p(y0))))))) A__P(s(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))) A__P(s(f(s(f(p(s(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(p(s(y0))))))) A__P(s(f(s(f(s(f(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(s(f(y0))))))) A__P(s(f(s(f(s(p(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(f(s(p(y0))))))) A__P(s(f(s(f(s(0)))))) -> c3(MARK(f(s(f(s(0)))))) A__P(s(f(s(p(s(f(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(s(f(y0))))))) A__P(s(f(s(p(s(p(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(s(p(y0))))))) A__P(s(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) A__P(s(f(s(p(s(s(y0))))))) -> c3(MARK(f(s(p(s(s(y0))))))) A__P(s(f(s(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(f(s(p(s(y0)))))) A__P(s(f(s(p(s(0)))))) -> c3(MARK(f(s(p(s(0)))))) A__P(s(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(f(s(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(p(y0)), 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z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> 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c3(MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (151) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) by A__P(s(f(s(cons(cons(y0, y1), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), z1))))) A__P(s(f(s(cons(s(y0), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(s(y0), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(y0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(p(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(p(y0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(y0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(y0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(y0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(p(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(p(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(p(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(f(s(0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(s(0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(y0)), z1))))) A__P(s(f(s(cons(p(s(0)), z1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(s(0)), z1))))) ---------------------------------------- (152) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(f(y0)))) -> c3(MARK(p(f(y0)))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) MARK(s(s(y0))) -> c9(MARK(s(y0))) MARK(s(f(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(s(p(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> c9(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(p(s(y0))))) -> c9(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(s(p(p(y0)))) -> c9(MARK(p(p(y0)))) MARK(s(f(f(f(y0))))) -> c9(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(s(f(f(p(y0))))) -> c9(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(f(s(y0))))) -> c9(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(s(f(p(f(y0))))) -> c9(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(s(f(p(p(y0))))) -> c9(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(p(s(y0))))) -> c9(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(s(f(s(f(y0))))) -> c9(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(s(f(s(p(y0))))) -> c9(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(f(y0))))) -> c9(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(s(p(s(p(y0))))) -> c9(MARK(p(s(p(y0))))) 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c3(MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), 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c3(MARK(p(f(p(p(y0)))))) A__P(s(p(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(p(f(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(p(f(p(s(y0)))))) A__P(s(p(f(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(y0)))))) A__P(s(p(f(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(y0)))))) A__P(s(p(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(p(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(p(f(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(p(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(p(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(p(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(p(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(p(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(p(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(f(p(y0)), y1))))) A__P(s(p(f(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(f(s(y0)), y1))))) A__P(s(p(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(p(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(p(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(p(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> 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c3(MARK(p(f(cons(p(s(y0)), y1))))) A__P(s(p(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c3(MARK(p(f(cons(p(s(0)), y0))))) A__P(s(p(f(f(s(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(f(s(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(f(s(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(s(s(y0))))))) A__P(s(p(f(f(f(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(f(f(y0))))))) A__P(s(p(f(f(f(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(f(p(y0))))))) A__P(s(p(f(f(f(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(f(f(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(f(f(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(f(s(y0))))))) A__P(s(p(f(f(p(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(p(f(y0))))))) A__P(s(p(f(f(p(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(p(p(y0))))))) A__P(s(p(f(f(p(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(f(p(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(f(p(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(p(s(y0))))))) A__P(s(p(f(f(s(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(s(f(y0))))))) A__P(s(p(f(f(s(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(f(s(p(y0))))))) A__P(s(p(f(f(cons(cons(y0, y1), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(cons(y0, y1), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(s(y0), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(s(y0), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(f(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(f(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(f(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(f(cons(p(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(p(f(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(f(f(y0))))))) A__P(s(p(f(p(f(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(f(p(y0))))))) A__P(s(p(f(p(f(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(p(f(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(p(f(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(f(s(y0))))))) A__P(s(p(f(p(p(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(p(f(y0))))))) A__P(s(p(f(p(p(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(p(p(y0))))))) A__P(s(p(f(p(p(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(p(p(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(p(p(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(p(s(y0))))))) A__P(s(p(f(p(s(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(s(f(y0))))))) A__P(s(p(f(p(s(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(s(p(y0))))))) A__P(s(p(f(p(s(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(p(s(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(p(s(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(p(s(s(y0))))))) A__P(s(p(f(p(cons(cons(y0, y1), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(cons(y0, y1), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(s(y0), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(s(y0), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(s(f(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(s(p(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(y0))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(y0))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(y0))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(f(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(f(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(f(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(f(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(f(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(f(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(p(f(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(f(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(f(y0))))))) A__P(s(p(f(s(p(p(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(p(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(p(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(p(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(p(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(p(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(p(p(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(p(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(p(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(p(y0))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(0))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(y0))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(0))))))) A__P(s(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(s(y0), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(s(y0), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) ---------------------------------------- (154) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) 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-> c3(MARK(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(f(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(f(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(p(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(p(cons(p(s(0)), y0)))))) A__P(s(p(f(s(f(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(s(p(cons(y0, y1))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(cons(y0, y1))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(y0))))))) 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A__P(s(p(f(s(f(f(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(f(f(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(f(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(f(p(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(p(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(f(s(0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(f(s(0))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(f(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(p(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(s(y0)))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(y0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(y0))))))) A__P(s(p(f(s(p(s(0))))))) -> c3(MARK(p(f(s(p(s(0))))))) A__P(s(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(s(y0), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(s(y0), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2)))))) A__P(s(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1)))))) -> 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A__P(s(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1)))))) A__P(s(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) -> c3(MARK(p(f(s(cons(p(s(0)), y0)))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (155) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(p(p(y0)))) -> c3(MARK(p(p(y0)))) by A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(f(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(f(f(y0)))))) A__P(s(p(p(f(p(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(y0)))))) A__P(s(p(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(p(p(f(cons(y0, y1)))))) A__P(s(p(p(f(s(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(y0)))))) A__P(s(p(p(p(f(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(p(f(y0)))))) A__P(s(p(p(p(p(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(p(p(y0)))))) A__P(s(p(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(p(p(p(cons(y0, y1)))))) A__P(s(p(p(p(s(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(p(s(y0)))))) A__P(s(p(p(s(f(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(s(f(y0)))))) A__P(s(p(p(s(p(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(s(p(y0)))))) A__P(s(p(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c3(MARK(p(p(s(cons(y0, y1)))))) A__P(s(p(p(s(s(y0)))))) -> c3(MARK(p(p(s(s(y0)))))) A__P(s(p(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c3(MARK(p(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) A__P(s(p(p(cons(s(y0), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(s(y0), y1))))) A__P(s(p(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(p(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) A__P(s(p(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(f(y0)), y1))))) A__P(s(p(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(p(y0)), y1))))) A__P(s(p(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(s(y0)), y1))))) A__P(s(p(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(p(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(p(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(f(y0)), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) A__P(s(p(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(p(p(y0)), y1))))) A__P(s(p(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) A__P(s(p(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> 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c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(s(y0), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(s(y0), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) ---------------------------------------- (156) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) 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y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> 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A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(p(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(s(y0), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(s(y0), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (157) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) by MARK(f(f(f(f(y0))))) -> c5(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(f(f(f(p(y0))))) -> c5(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(f(f(f(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(f(s(y0))))) -> c5(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(f(f(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(s(y0)))))) MARK(f(f(f(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(f(y0)))))) MARK(f(f(f(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(p(y0)))))) MARK(f(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(s(y0)))))) MARK(f(f(f(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(f(y0)))))) MARK(f(f(f(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(p(y0)))))) MARK(f(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(s(y0)))))) MARK(f(f(f(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(f(y0)))))) MARK(f(f(f(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(p(y0)))))) MARK(f(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) ---------------------------------------- (158) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) 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c3(MARK(p(p(f(p(cons(p(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(cons(y0, y1)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(cons(y0, y1)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(f(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(f(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(p(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(p(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(f(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(f(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(p(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(p(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(f(s(0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(f(s(0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(f(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(f(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(p(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(p(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(s(y0))))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(s(y0))))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(y0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(y0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(p(s(0)))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(p(s(0)))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(s(y0), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(s(y0), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) MARK(f(f(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(s(y0)))))) MARK(f(f(f(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(f(y0)))))) MARK(f(f(f(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(p(y0)))))) MARK(f(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(s(y0)))))) MARK(f(f(f(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(f(y0)))))) MARK(f(f(f(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(p(y0)))))) MARK(f(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(s(y0)))))) MARK(f(f(f(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(f(y0)))))) MARK(f(f(f(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(p(y0)))))) MARK(f(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) 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MARK(f(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (159) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) by MARK(f(f(p(f(y0))))) -> c5(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(f(f(p(p(y0))))) -> c5(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(f(f(p(cons(y0, y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(f(f(p(s(y0))))) -> c5(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(f(f(p(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(f(y0)))))) MARK(f(f(p(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(p(y0)))))) MARK(f(f(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(s(y0)))))) MARK(f(f(p(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(f(y0)))))) MARK(f(f(p(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(p(y0)))))) MARK(f(f(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(s(y0)))))) MARK(f(f(p(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(f(y0)))))) MARK(f(f(p(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(p(y0)))))) MARK(f(f(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(s(y0)))))) MARK(f(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(p(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) ---------------------------------------- (160) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) 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y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(y0)), y1))) -> 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A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) MARK(f(f(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(s(y0)))))) MARK(f(f(f(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(f(y0)))))) MARK(f(f(f(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(p(y0)))))) MARK(f(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(s(y0)))))) MARK(f(f(f(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(f(y0)))))) MARK(f(f(f(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(p(y0)))))) MARK(f(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(s(y0)))))) MARK(f(f(f(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(f(y0)))))) MARK(f(f(f(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(p(y0)))))) MARK(f(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(f(y0)))))) MARK(f(f(p(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(p(y0)))))) MARK(f(f(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(s(y0)))))) MARK(f(f(p(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(f(y0)))))) MARK(f(f(p(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(p(y0)))))) MARK(f(f(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(s(y0)))))) MARK(f(f(p(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(f(y0)))))) MARK(f(f(p(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(p(y0)))))) MARK(f(f(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(s(y0)))))) MARK(f(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(p(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (161) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(f(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(f(cons(z0, z1)))) by MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(cons(y0, y1), z1)))) MARK(f(f(cons(s(y0), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(s(y0), z1)))) MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1)))) MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1)))) MARK(f(f(cons(f(f(y0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(y0)), z1)))) MARK(f(f(cons(f(p(y0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(y0)), z1)))) MARK(f(f(cons(f(s(y0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(y0)), z1)))) MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(s(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(f(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(p(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(s(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(f(y0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(f(y0)), z1)))) MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(f(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(p(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(s(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(p(y0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(p(y0)), z1)))) MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(f(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(p(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(f(s(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(f(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(p(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(p(s(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(f(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(p(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(f(s(0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(f(s(0)), z1)))) MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(f(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(p(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(s(y0))), z1)))) MARK(f(f(cons(p(s(y0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(y0)), z1)))) MARK(f(f(cons(p(s(0)), z1)))) -> c5(MARK(f(cons(p(s(0)), z1)))) ---------------------------------------- (162) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) MARK(s(s(y0))) -> c9(MARK(s(y0))) MARK(s(f(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(s(p(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> c9(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(p(s(y0))))) -> c9(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(s(p(p(y0)))) -> c9(MARK(p(p(y0)))) MARK(s(f(f(f(y0))))) -> c9(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(s(f(f(p(y0))))) -> c9(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(f(s(y0))))) -> c9(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(s(f(p(f(y0))))) -> c9(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(s(f(p(p(y0))))) -> c9(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(p(s(y0))))) -> c9(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(s(f(s(f(y0))))) -> c9(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(s(f(s(p(y0))))) -> c9(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(f(y0))))) -> c9(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(s(p(s(p(y0))))) -> c9(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(s(p(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(s(s(y0))))) -> c9(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(s(p(s(y0)))) -> c9(MARK(p(s(y0)))) MARK(s(p(s(0)))) -> c9(MARK(p(s(0)))) MARK(s(cons(cons(y0, y1), y2))) -> c9(MARK(cons(cons(y0, y1), y2))) MARK(s(cons(s(y0), y1))) -> c9(MARK(cons(s(y0), y1))) MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(p(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(f(s(0)), y0))) -> c9(MARK(cons(f(s(0)), y0))) MARK(s(cons(p(s(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(s(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))) 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MARK(f(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (163) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) by A__P(s(f(f(cons(cons(y0, y1), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), z1))))) A__P(s(f(f(cons(s(y0), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(s(y0), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(y0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(f(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(f(y0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(p(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(p(y0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(f(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(f(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(p(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(f(s(0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(f(s(0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(f(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(p(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(s(y0))), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(y0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), z1))))) A__P(s(f(f(cons(p(s(0)), z1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(p(s(0)), z1))))) ---------------------------------------- (164) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, 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y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(f(s(0)), y0))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))))) A__P(s(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) -> c3(MARK(p(p(f(s(cons(p(s(0)), y0))))))) MARK(f(f(f(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(s(y0)))))) MARK(f(f(f(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(f(y0)))))) MARK(f(f(f(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(p(y0)))))) MARK(f(f(f(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(f(s(y0)))))) MARK(f(f(f(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(f(y0)))))) MARK(f(f(f(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(p(y0)))))) MARK(f(f(f(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(f(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(f(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(p(s(y0)))))) MARK(f(f(f(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(f(y0)))))) MARK(f(f(f(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(f(s(p(y0)))))) MARK(f(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(f(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(f(y0)), y1))))) -> 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y2))))) MARK(f(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(f(cons(p(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(f(y0)))))) MARK(f(f(p(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(p(y0)))))) MARK(f(f(p(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(f(s(y0)))))) MARK(f(f(p(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(f(y0)))))) MARK(f(f(p(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(p(y0)))))) MARK(f(f(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(s(y0)))))) MARK(f(f(p(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(f(y0)))))) MARK(f(f(p(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(p(y0)))))) MARK(f(f(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(s(y0)))))) MARK(f(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(p(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (165) CdtForwardInstantiationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Use forward instantiation to replace MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) by MARK(f(f(s(s(y0))))) -> c5(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(f(f(s(f(y0))))) -> c5(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(f(f(s(p(y0))))) -> c5(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(f(f(s(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(s(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(s(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(s(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(s(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(y0)))))) MARK(f(f(s(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(y0)))))) MARK(f(f(s(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(y0)))))) MARK(f(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(f(s(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(f(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(p(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(p(f(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(y0)))))) MARK(f(f(s(p(p(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(f(y0))))))) MARK(f(f(s(p(p(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(p(y0))))))) MARK(f(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(p(p(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(y0)))))) MARK(f(f(s(f(f(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(f(y0))))))) MARK(f(f(s(f(f(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(p(y0))))))) MARK(f(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(f(f(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(s(y0))))))) MARK(f(f(s(f(p(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(f(y0))))))) MARK(f(f(s(f(p(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(p(y0))))))) MARK(f(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(f(p(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(s(y0))))))) MARK(f(f(s(f(s(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(f(y0))))))) MARK(f(f(s(f(s(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(p(y0))))))) MARK(f(f(s(f(s(0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(0)))))) MARK(f(f(s(p(s(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(f(y0))))))) MARK(f(f(s(p(s(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(p(y0))))))) MARK(f(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(p(s(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(y0)))))) MARK(f(f(s(p(s(0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(0)))))) MARK(f(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(s(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> 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c5(MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) ---------------------------------------- (166) Obligation: Complexity Dependency Tuples Problem Rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) a__f(z0) -> f(z0) a__p(s(z0)) -> mark(z0) a__p(z0) -> p(z0) mark(f(z0)) -> a__f(mark(z0)) mark(p(z0)) -> a__p(mark(z0)) mark(0) -> 0 mark(cons(z0, z1)) -> cons(mark(z0), z1) mark(s(z0)) -> s(mark(z0)) Tuples: MARK(f(s(s(z0)))) -> c5(MARK(s(s(z0)))) MARK(p(f(f(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__f(mark(z0)))), MARK(f(f(z0)))) MARK(p(f(p(z0)))) -> c6(A__P(a__f(a__p(mark(z0)))), MARK(f(p(z0)))) MARK(p(f(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__f(cons(mark(z0), z1))), MARK(f(cons(z0, z1)))) MARK(p(f(s(z0)))) -> c6(A__P(a__f(s(mark(z0)))), MARK(f(s(z0)))) MARK(p(p(f(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__f(mark(z0)))), MARK(p(f(z0)))) MARK(p(p(p(z0)))) -> c6(A__P(a__p(a__p(mark(z0)))), MARK(p(p(z0)))) MARK(p(p(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(a__p(cons(mark(z0), z1))), MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(p(p(s(z0)))) -> c6(A__P(a__p(s(mark(z0)))), MARK(p(s(z0)))) A__P(s(p(s(y0)))) -> c3(MARK(p(s(y0)))) A__P(s(f(f(f(y0))))) -> c3(MARK(f(f(f(y0))))) A__P(s(f(f(p(y0))))) -> c3(MARK(f(f(p(y0))))) A__P(s(f(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(f(s(y0))))) -> c3(MARK(f(f(s(y0))))) A__P(s(f(p(f(y0))))) -> c3(MARK(f(p(f(y0))))) A__P(s(f(p(p(y0))))) -> c3(MARK(f(p(p(y0))))) A__P(s(f(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(f(p(s(y0))))) -> c3(MARK(f(p(s(y0))))) A__P(s(f(s(f(y0))))) -> c3(MARK(f(s(f(y0))))) A__P(s(f(s(p(y0))))) -> c3(MARK(f(s(p(y0))))) A__P(s(f(s(s(y0))))) -> c3(MARK(f(s(s(y0))))) A__P(s(p(f(f(y0))))) -> c3(MARK(p(f(f(y0))))) A__P(s(p(f(p(y0))))) -> c3(MARK(p(f(p(y0))))) A__P(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(f(s(y0))))) -> c3(MARK(p(f(s(y0))))) A__P(s(p(p(f(y0))))) -> c3(MARK(p(p(f(y0))))) A__P(s(p(p(p(y0))))) -> c3(MARK(p(p(p(y0))))) A__P(s(p(p(cons(y0, y1))))) -> c3(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) A__P(s(p(p(s(y0))))) -> c3(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(f(f(f(z0)))) -> c5(MARK(f(f(z0)))) MARK(f(f(p(z0)))) -> c5(MARK(f(p(z0)))) MARK(f(f(s(z0)))) -> c5(MARK(f(s(z0)))) MARK(f(p(f(z0)))) -> c5(MARK(p(f(z0)))) MARK(f(p(p(z0)))) -> c5(MARK(p(p(z0)))) MARK(f(p(cons(z0, z1)))) -> c5(MARK(p(cons(z0, z1)))) MARK(f(p(s(z0)))) -> c5(MARK(p(s(z0)))) MARK(f(s(f(z0)))) -> c5(MARK(s(f(z0)))) MARK(f(s(p(z0)))) -> c5(MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(f(z0)))) -> c6(A__P(s(a__f(mark(z0)))), MARK(s(f(z0)))) MARK(p(s(p(z0)))) -> c6(A__P(s(a__p(mark(z0)))), MARK(s(p(z0)))) MARK(p(s(cons(z0, z1)))) -> c6(A__P(s(cons(mark(z0), z1))), MARK(s(cons(z0, z1)))) MARK(p(s(s(z0)))) -> c6(A__P(s(s(mark(z0)))), MARK(s(s(z0)))) MARK(p(s(x0))) -> c6(MARK(s(x0))) MARK(cons(cons(y0, y1), z1)) -> c8(MARK(cons(y0, y1))) MARK(cons(s(y0), z1)) -> c8(MARK(s(y0))) MARK(cons(f(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(cons(p(cons(y0, y1)), z1)) -> c8(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(cons(f(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(f(y0)))) MARK(cons(f(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(p(y0)))) MARK(cons(f(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(f(s(y0)))) MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(cons(p(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(cons(p(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(cons(p(f(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(f(y0)))) MARK(cons(p(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(cons(p(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(p(y0))))) MARK(cons(p(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(p(s(y0))))) MARK(cons(p(p(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(p(y0)))) MARK(cons(f(f(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(f(y0))))) MARK(cons(f(f(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(p(y0))))) MARK(cons(f(f(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(f(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(f(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(f(s(y0))))) MARK(cons(f(p(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(f(y0))))) MARK(cons(f(p(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(p(y0))))) MARK(cons(f(p(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(f(p(cons(y0, y1))))) MARK(cons(f(p(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(p(s(y0))))) MARK(cons(f(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(f(y0))))) MARK(cons(f(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(f(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(f(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(f(y0))))) MARK(cons(p(s(p(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(p(y0))))) MARK(cons(p(s(cons(y0, y1))), z1)) -> c8(MARK(p(s(cons(y0, y1))))) MARK(cons(p(s(s(y0))), z1)) -> c8(MARK(p(s(s(y0))))) MARK(cons(p(s(y0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(y0)))) MARK(cons(p(s(0)), z1)) -> c8(MARK(p(s(0)))) MARK(s(s(y0))) -> c9(MARK(s(y0))) MARK(s(f(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(f(cons(y0, y1)))) MARK(s(p(cons(y0, y1)))) -> c9(MARK(p(cons(y0, y1)))) MARK(s(f(f(y0)))) -> c9(MARK(f(f(y0)))) MARK(s(f(p(y0)))) -> c9(MARK(f(p(y0)))) MARK(s(f(s(y0)))) -> c9(MARK(f(s(y0)))) MARK(s(f(s(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(f(s(cons(y0, y1))))) MARK(s(f(s(s(y0))))) -> c9(MARK(f(s(s(y0))))) MARK(s(p(f(f(y0))))) -> c9(MARK(p(f(f(y0))))) MARK(s(p(f(p(y0))))) -> c9(MARK(p(f(p(y0))))) MARK(s(p(f(cons(y0, y1))))) -> c9(MARK(p(f(cons(y0, y1))))) MARK(s(p(f(s(y0))))) -> c9(MARK(p(f(s(y0))))) MARK(s(p(f(y0)))) -> c9(MARK(p(f(y0)))) MARK(s(p(p(f(y0))))) -> c9(MARK(p(p(f(y0))))) MARK(s(p(p(p(y0))))) -> 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MARK(s(cons(s(y0), y1))) -> c9(MARK(cons(s(y0), y1))) MARK(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(f(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) -> c9(MARK(cons(p(cons(y0, y1)), y2))) MARK(s(cons(f(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(p(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(p(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(y0)), y1))) MARK(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(f(s(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(f(s(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(p(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) -> c9(MARK(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))) MARK(s(cons(p(f(s(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(s(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(f(y0)), y1))) -> c9(MARK(cons(p(f(y0)), y1))) MARK(s(cons(p(p(f(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(f(y0))), y1))) MARK(s(cons(p(p(p(y0))), y1))) -> c9(MARK(cons(p(p(p(y0))), y1))) 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c5(MARK(f(p(f(s(y0)))))) MARK(f(f(p(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(f(y0)))))) MARK(f(f(p(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(p(y0)))))) MARK(f(f(p(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(p(s(y0)))))) MARK(f(f(p(s(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(f(y0)))))) MARK(f(f(p(s(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(p(y0)))))) MARK(f(f(p(s(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(p(s(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(p(s(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(p(s(s(y0)))))) MARK(f(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(p(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(p(cons(p(s(0)), y0))))) MARK(f(f(s(f(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(s(f(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(s(p(cons(y0, y1)))))) -> c5(MARK(f(s(p(cons(y0, y1)))))) MARK(f(f(s(f(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(y0)))))) MARK(f(f(s(f(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(y0)))))) MARK(f(f(s(f(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(y0)))))) MARK(f(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(f(s(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(f(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(p(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(p(f(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(f(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(f(y0)))))) MARK(f(f(s(p(p(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(f(y0))))))) MARK(f(f(s(p(p(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(p(y0))))))) MARK(f(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(p(p(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(p(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(p(y0)))))) MARK(f(f(s(f(f(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(f(y0))))))) MARK(f(f(s(f(f(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(p(y0))))))) MARK(f(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(f(f(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(f(s(y0))))))) MARK(f(f(s(f(p(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(f(y0))))))) MARK(f(f(s(f(p(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(p(y0))))))) MARK(f(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(f(p(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(p(s(y0))))))) MARK(f(f(s(f(s(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(f(y0))))))) MARK(f(f(s(f(s(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(p(y0))))))) MARK(f(f(s(f(s(0)))))) -> c5(MARK(f(s(f(s(0)))))) MARK(f(f(s(p(s(f(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(f(y0))))))) MARK(f(f(s(p(s(p(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(p(y0))))))) MARK(f(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(cons(y0, y1))))))) MARK(f(f(s(p(s(s(y0))))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(s(y0))))))) MARK(f(f(s(p(s(y0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(y0)))))) MARK(f(f(s(p(s(0)))))) -> c5(MARK(f(s(p(s(0)))))) MARK(f(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(cons(y0, y1), y2))))) MARK(f(f(s(cons(s(y0), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(s(y0), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(cons(y0, y1)), y2))))) MARK(f(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(f(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(p(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(f(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(f(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(f(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(f(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(p(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(p(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(p(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(p(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(s(cons(f(s(0)), y0))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(f(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(p(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(cons(y0, y1))), y2))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(s(y0))), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(y0)), y1))))) MARK(f(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) -> c5(MARK(f(s(cons(p(s(0)), y0))))) K tuples:none Defined Rule Symbols: a__f_1, a__p_1, mark_1 Defined Pair Symbols: MARK_1, A__P_1 Compound Symbols: c5_1, c6_2, c3_1, c6_1, c8_1, c9_1 ---------------------------------------- (167) RelTrsToWeightedTrsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed relative TRS to weighted TRS ---------------------------------------- (168) Obligation: The Runtime Complexity (innermost) of the given CpxWeightedTrs could be proven to be BOUNDS(1, INF). The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [1] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [1] a__p(s(X)) -> mark(X) [1] mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) [1] mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) [1] mark(0) -> 0 [1] mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) [1] mark(s(X)) -> s(mark(X)) [1] a__f(X) -> f(X) [1] a__p(X) -> p(X) [1] Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (169) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Infered types. ---------------------------------------- (170) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [1] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [1] a__p(s(X)) -> mark(X) [1] mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) [1] mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) [1] mark(0) -> 0 [1] mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) [1] mark(s(X)) -> s(mark(X)) [1] a__f(X) -> f(X) [1] a__p(X) -> p(X) [1] The TRS has the following type information: a__f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p 0 :: 0:s:f:cons:p cons :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p s :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p a__p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p mark :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (171) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The transformation into a RNTS is sound, since: (a) The obligation is a constructor system where every type has a constant constructor, (b) The following defined symbols do not have to be completely defined, as they can never occur inside other defined symbols: none (c) The following functions are completely defined: a__p_1 mark_1 a__f_1 Due to the following rules being added: none And the following fresh constants: none ---------------------------------------- (172) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [1] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [1] a__p(s(X)) -> mark(X) [1] mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) [1] mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) [1] mark(0) -> 0 [1] mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) [1] mark(s(X)) -> s(mark(X)) [1] a__f(X) -> f(X) [1] a__p(X) -> p(X) [1] The TRS has the following type information: a__f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p 0 :: 0:s:f:cons:p cons :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p s :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p a__p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p mark :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (173) NarrowingProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Narrowed the inner basic terms of all right-hand sides by a single narrowing step. ---------------------------------------- (174) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where critical functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [1] a__f(s(0)) -> a__f(mark(0)) [2] a__f(s(0)) -> a__f(p(s(0))) [2] a__p(s(X)) -> mark(X) [1] mark(f(f(X'))) -> a__f(a__f(mark(X'))) [2] mark(f(p(X''))) -> a__f(a__p(mark(X''))) [2] mark(f(0)) -> a__f(0) [2] mark(f(cons(X1', X2'))) -> a__f(cons(mark(X1'), X2')) [2] mark(f(s(X3))) -> a__f(s(mark(X3))) [2] mark(p(f(X4))) -> a__p(a__f(mark(X4))) [2] mark(p(p(X5))) -> a__p(a__p(mark(X5))) [2] mark(p(0)) -> a__p(0) [2] mark(p(cons(X1'', X2''))) -> a__p(cons(mark(X1''), X2'')) [2] mark(p(s(X6))) -> a__p(s(mark(X6))) [2] mark(0) -> 0 [1] mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) [1] mark(s(X)) -> s(mark(X)) [1] a__f(X) -> f(X) [1] a__p(X) -> p(X) [1] The TRS has the following type information: a__f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p 0 :: 0:s:f:cons:p cons :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p s :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p a__p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p mark :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (175) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 ---------------------------------------- (176) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: a__f(z) -{ 2 }-> a__f(mark(0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 2 }-> a__f(1 + (1 + 0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 1 }-> 1 + X :|: X >= 0, z = X a__f(z) -{ 1 }-> 1 + 0 + (1 + (1 + 0)) :|: z = 0 a__p(z) -{ 1 }-> mark(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 a__p(z) -{ 1 }-> 1 + X :|: X >= 0, z = X mark(z) -{ 2 }-> a__p(a__p(mark(X5))) :|: X5 >= 0, z = 1 + (1 + X5) mark(z) -{ 2 }-> a__p(a__f(mark(X4))) :|: z = 1 + (1 + X4), X4 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(1 + mark(X6)) :|: X6 >= 0, z = 1 + (1 + X6) mark(z) -{ 2 }-> a__p(1 + mark(X1'') + X2'') :|: X1'' >= 0, z = 1 + (1 + X1'' + X2''), X2'' >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(a__p(mark(X''))) :|: z = 1 + (1 + X''), X'' >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(a__f(mark(X'))) :|: X' >= 0, z = 1 + (1 + X') mark(z) -{ 2 }-> a__f(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(1 + mark(X3)) :|: z = 1 + (1 + X3), X3 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(1 + mark(X1') + X2') :|: z = 1 + (1 + X1' + X2'), X2' >= 0, X1' >= 0 mark(z) -{ 1 }-> 0 :|: z = 0 mark(z) -{ 1 }-> 1 + mark(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> 1 + mark(X1) + X2 :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 ---------------------------------------- (177) SimplificationProof (BOTH BOUNDS(ID, ID)) Simplified the RNTS by moving equalities from the constraints into the right-hand sides. ---------------------------------------- (178) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: a__f(z) -{ 2 }-> a__f(mark(0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 2 }-> a__f(1 + (1 + 0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 1 }-> 1 + z :|: z >= 0 a__f(z) -{ 1 }-> 1 + 0 + (1 + (1 + 0)) :|: z = 0 a__p(z) -{ 1 }-> mark(z - 1) :|: z - 1 >= 0 a__p(z) -{ 1 }-> 1 + z :|: z >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(a__p(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(a__f(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(1 + mark(z - 2)) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__p(1 + mark(X1'') + X2'') :|: X1'' >= 0, z = 1 + (1 + X1'' + X2''), X2'' >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(a__p(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(a__f(mark(z - 2))) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(0) :|: z = 1 + 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(1 + mark(z - 2)) :|: z - 2 >= 0 mark(z) -{ 2 }-> a__f(1 + mark(X1') + X2') :|: z = 1 + (1 + X1' + X2'), X2' >= 0, X1' >= 0 mark(z) -{ 1 }-> 0 :|: z = 0 mark(z) -{ 1 }-> 1 + mark(z - 1) :|: z - 1 >= 0 mark(z) -{ 1 }-> 1 + mark(X1) + X2 :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 ---------------------------------------- (179) CompletionProof (UPPER BOUND(ID)) The TRS is a completely defined constructor system, as every type has a constant constructor and the following rules were added: none And the following fresh constants: none ---------------------------------------- (180) Obligation: Runtime Complexity Weighted TRS where all functions are completely defined. The underlying TRS is: Runtime Complexity Weighted TRS with Types. The TRS R consists of the following rules: a__f(0) -> cons(0, f(s(0))) [1] a__f(s(0)) -> a__f(a__p(s(0))) [1] a__p(s(X)) -> mark(X) [1] mark(f(X)) -> a__f(mark(X)) [1] mark(p(X)) -> a__p(mark(X)) [1] mark(0) -> 0 [1] mark(cons(X1, X2)) -> cons(mark(X1), X2) [1] mark(s(X)) -> s(mark(X)) [1] a__f(X) -> f(X) [1] a__p(X) -> p(X) [1] The TRS has the following type information: a__f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p 0 :: 0:s:f:cons:p cons :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p f :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p s :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p a__p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p mark :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p p :: 0:s:f:cons:p -> 0:s:f:cons:p Rewrite Strategy: INNERMOST ---------------------------------------- (181) CpxTypedWeightedTrsToRntsProof (UPPER BOUND(ID)) Transformed the TRS into an over-approximating RNTS by (improved) Size Abstraction. The constant constructors are abstracted as follows: 0 => 0 ---------------------------------------- (182) Obligation: Complexity RNTS consisting of the following rules: a__f(z) -{ 1 }-> a__f(a__p(1 + 0)) :|: z = 1 + 0 a__f(z) -{ 1 }-> 1 + X :|: X >= 0, z = X a__f(z) -{ 1 }-> 1 + 0 + (1 + (1 + 0)) :|: z = 0 a__p(z) -{ 1 }-> mark(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 a__p(z) -{ 1 }-> 1 + X :|: X >= 0, z = X mark(z) -{ 1 }-> a__p(mark(X)) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> a__f(mark(X)) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> 0 :|: z = 0 mark(z) -{ 1 }-> 1 + mark(X) :|: z = 1 + X, X >= 0 mark(z) -{ 1 }-> 1 + mark(X1) + X2 :|: X1 >= 0, X2 >= 0, z = 1 + X1 + X2 Only complete derivations are relevant for the runtime complexity.